Dérivée d’une fonction Bac Maths : formules, applications, exercices

Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ?

La dérivée f’(a) d’une fonction f en un point a mesure le taux d’accroissement instantané de f en a, c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

Définition rigoureuse : f’(a) = lim_{h→0} (f(a+h) - f(a)) / h, si cette limite existe et est finie.

Au Bac, on ne calcule pas cette limite directement : on utilise les formules de dérivation apprises par cœur.

Quelles sont les formules de dérivation à connaître ?

Formules des fonctions usuelles :

• k’ = 0 (constante).
• (x^n)’ = n × x^(n-1).
• (√x)’ = 1/(2√x).
• (1/x)’ = -1/x².
• (e^x)’ = e^x.
• (ln(x))’ = 1/x.
• (cos(x))’ = -sin(x) et (sin(x))’ = cos(x).

Quelles sont les règles de dérivation ?

Pour dériver des combinaisons de fonctions :

• Somme : (u + v)’ = u’ + v’.
• Produit par une constante : (k × u)’ = k × u’.
• Produit : (uv)’ = u’v + uv’.
• Quotient : (u/v)’ = (u’v - uv’) / v² (avec v ≠ 0).
• Composée : (u(v))’ = u’(v) × v’.

Comment étudier le signe de la dérivée ?

Le signe de f’ détermine les variations de f :

• f’(x) > 0 sur un intervalle ⇒ f est strictement croissante sur cet intervalle.
• f’(x) < 0 sur un intervalle ⇒ f est strictement décroissante.
• f’(x) = 0 en un point ⇒ extremum local possible (à vérifier par changement de signe).
• Tableau de variations : outil incontournable pour visualiser et présenter les résultats.

Comment calculer une équation de tangente ?

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation :

y = f’(a) × (x - a) + f(a)

Exemple. Soit f(x) = x². Tangente au point d’abscisse 2.

• f’(x) = 2x, donc f’(2) = 4.
• f(2) = 4.
• Équation : y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4.

Comment dériver une fonction composée ?

La dérivée d’une composée suit la règle de la chaîne : (u(v))’ = u’(v) × v’.

Exemple. f(x) = (3x + 1)⁴.

• Identifier : f = u(v) avec u(t) = t⁴ et v(x) = 3x + 1.
• Calculer : u’(t) = 4t³, donc u’(v) = 4(3x + 1)³. v’(x) = 3.
• Multiplier : f’(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.

Quels exercices types tombent au Bac ?

Au Bac spé Maths, les exercices types sur la dérivée :

• Étude complète d’une fonction : domaine, limites, dérivée, signe, tableau de variations, points particuliers, courbe.
• Tangente : équation de tangente en un point donné, recherche de tangentes parallèles à une droite.
• Optimisation : trouver le minimum d’une fonction (par exemple coût minimum, distance minimale).
• Convexité : signe de la dérivée seconde, points d’inflexion.
• Méthode de Newton : résolution numérique d’équations.

Quels pièges éviter sur les dérivées ?

Erreurs typiques sanctionnées par les correcteurs :

• Confondre dérivée et primitive : deux opérations inverses.
• Oubli des conditions d’existence : dériver 1/x sans préciser x ≠ 0.
• Erreur sur la composée : oublier de multiplier par v’.
• Tableau de variations incomplet : oubli des limites, des valeurs particulières.
• Signe du quotient mal géré : étudier le signe de (u’v - uv’) en oubliant que v² > 0.

Comment FlashBac t’aide sur les dérivées ?

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