Fonction exponentielle Bac : propriétés, dérivée, exercices corrigés

Qu’est-ce que la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou e^x, est l’unique fonction f définie sur ℝ vérifiant :

• f’(x) = f(x) pour tout x (sa dérivée est elle-même).
• f(0) = 1 (passage par le point (0, 1)).
• Constante e : e = exp(1) ≈ 2,718. Nombre transcendant.

Quelles sont les propriétés algébriques ?

Propriétés à connaître par cœur :

• e^(a+b) = e^a × e^b.
• e^(-a) = 1 / e^a.
• e^(a-b) = e^a / e^b.
• (e^a)^n = e^(an).
• e^a × e^b = e^(a+b) (rappel du premier point).
• e^x > 0 pour tout x (l’exponentielle est strictement positive).

Quelles sont les limites de l’exponentielle ?

Limites essentielles :

• lim_{x→+∞} e^x = +∞ (croît vers l’infini).
• lim_{x→-∞} e^x = 0 (tend vers 0 par valeurs positives).
• Croissance comparée : lim_{x→+∞} e^x / x^n = +∞ pour tout n. L’exponentielle « écrase » les polynômes.
• Limite remarquable : lim_{x→0} (e^x - 1) / x = 1.

Quelles sont les variations de l’exponentielle ?

Tableau de variations :

• Définie sur ℝ, continue partout.
• Strictement croissante : si a < b, alors e^a < e^b.
• Convexe : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
• Courbe : passe par (0, 1), monte rapidement à droite, plate à gauche.

Comment dériver une exponentielle composée ?

Pour une composée e^(u(x)) :

(e^(u(x)))’ = u’(x) × e^(u(x))

Exemples :

• (e^(2x))’ = 2 × e^(2x).
• (e^(x²))’ = 2x × e^(x²).
• (e^(-x))’ = -e^(-x).
• (e^(3x+1))’ = 3 × e^(3x+1).

Exercice corrigé : étude de fonction

Soit f(x) = (x + 1) × e^x sur ℝ.

• Dérivée : f’(x) = e^x + (x + 1) × e^x = (x + 2) × e^x.
• Signe de f’ : f’(x) du signe de (x + 2). Donc f’ < 0 sur ]-∞, -2[, f’ > 0 sur ]-2, +∞[.
• Tableau de variations : décroissante sur ]-∞, -2], croissante sur [-2, +∞[. Minimum en x = -2 : f(-2) = -e^(-2) ≈ -0,135.
• Limites : en -∞, f → 0. En +∞, f → +∞.
• Intersection avec Ox : f(x) = 0 ⇔ x = -1.

Quelles applications concrètes ?

L’exponentielle modélise de nombreux phénomènes :

• Croissance exponentielle : croissance d’une population sans contraintes (N(t) = N₀ × e^(kt)).
• Décroissance radioactive : N(t) = N₀ × e^(-λt), avec demi-vie ln(2)/λ.
• Charge/décharge de condensateur : u(t) = U × (1 - e^(-t/τ)) à la charge.
• Intérêts composés : capital après n années avec taux continu : C(t) = C₀ × e^(rt).
• Modèle logistique : croissance limitée avec e^(-kt) dans le dénominateur.

Quels pièges éviter sur l’exponentielle ?

Erreurs typiques :

• Confondre e^x et x^e : fonctions totalement différentes.
• e^(a+b) ≠ e^a + e^b : erreur classique. La bonne formule est e^a × e^b.
• Oublier la croissance comparée : penser que x² « rattrape » e^x. Faux : e^x l’emporte toujours en +∞.
• Signe de l’exponentielle : e^x est toujours strictement positif. Une équation de la forme e^x = -1 n’a pas de solution.

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