Intégrale Bac Maths : techniques de calcul, primitives, applications

Qu’est-ce qu’une intégrale ?

L’intégrale d’une fonction f continue sur [a, b], notée ∫ₐᵇ f(x) dx, représente l’aire algébrique entre la courbe de f, l’axe Ox, et les droites verticales x = a et x = b.

Cette aire est positive si f(x) ≥ 0 sur [a, b], négative si f(x) ≤ 0. Le résultat est en unités d’aire.

Théorème fondamental de l’analyse : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), où F est une primitive de f.

Quelles primitives usuelles connaître ?

Primitives à mémoriser :

• ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C pour n ≠ -1.
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
• ∫ e^x dx = e^x + C.
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C.
• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C.
• ∫ e^(ax) dx = (1/a) × e^(ax) + C.

Quelles propriétés de l’intégrale connaître ?

Propriétés essentielles :

• Linéarité : ∫ₐᵇ (αf + βg) dx = α∫ₐᵇ f dx + β∫ₐᵇ g dx.
• Relation de Chasles : ∫ₐᶜ f dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ᵇᶜ f dx.
• Inversion des bornes : ∫ₐᵇ f dx = -∫ᵇₐ f dx.
• Positivité : si f ≥ 0 sur [a, b], alors ∫ₐᵇ f dx ≥ 0.
• Croissance : si f ≤ g sur [a, b], alors ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx.

Comment effectuer une intégration par parties ?

L’intégration par parties (IPP) permet d’intégrer un produit de fonctions. Formule :

∫ₐᵇ u’v dx = [uv]ₐᵇ - ∫ₐᵇ uv’ dx

Exemple. Calculer ∫₀¹ x × e^x dx.

• Choisir : u’ = e^x donc u = e^x ; v = x donc v’ = 1.
• Appliquer : ∫₀¹ x × e^x dx = [x × e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx.
• Calculer : [x × e^x]₀¹ = e - 0 = e. ∫₀¹ e^x dx = e - 1.
• Conclure : ∫₀¹ x × e^x dx = e - (e - 1) = 1.

Quelles applications concrètes de l’intégrale ?

L’intégrale a de nombreuses applications :

• Aire sous une courbe : aire = ∫ₐᵇ f(x) dx si f ≥ 0.
• Aire entre deux courbes : aire = ∫ₐᵇ (f(x) - g(x)) dx si f ≥ g.
• Valeur moyenne : μ = (1/(b-a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Distance parcourue : si v(t) est la vitesse, distance = ∫ₐᵇ v(t) dt.
• Probabilités continues : P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx pour une densité f.

Comment vérifier un calcul d’intégrale ?

Méthodes de vérification :

• Dériver la primitive trouvée : F’(x) doit être égal à f(x).
• Vérifier le signe : si f ≥ 0 sur [a, b], l’intégrale doit être positive.
• Cas particulier : si a = b, l’intégrale est nulle.
• Ordre de grandeur : l’intégrale doit être de l’ordre de (b-a) × valeur moyenne approximative de f.

Quels pièges éviter sur l’intégration ?

Erreurs typiques sanctionnées :

• Oublier la constante d’intégration dans une primitive (sauf intégrale définie).
• Confondre dérivée et primitive : deux opérations inverses.
• Erreur sur les bornes : inverser a et b sans changer le signe.
• Mauvais choix IPP : choisir u et v de manière à compliquer le calcul plutôt que le simplifier.
• Calcul d’aire négatif : oublier la valeur absolue si f change de signe.

Comment FlashBac t’aide sur l’intégration ?

Sur FlashBac Bac Maths tu trouves le chapitre Intégration avec cours, fiche, flashcards, QCM et exercices corrigés. La rubrique méthodes détaille l’IPP et les applications.

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