Loi binomiale Bac Maths : définition, formule, exercices corrigés

Qu’est-ce qu’une loi binomiale ?

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p), si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes ayant chacune une probabilité de succès p.

Conditions d’application :

• n épreuves identiques et indépendantes.
• Chaque épreuve a deux issues seulement : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p).
• X compte le nombre de succès parmi les n épreuves.

Quelle est la formule de la loi binomiale ?

Si X suit B(n, p), alors :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)

où C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!) est le coefficient binomial (« k parmi n »).

Comment calculer espérance et variance ?

Pour une loi binomiale B(n, p) :

• Espérance : E(X) = n × p.
• Variance : V(X) = n × p × (1-p).
• Écart-type : σ(X) = √(n × p × (1-p)).
• Exemple : X ~ B(20, 0,3). E(X) = 6, V(X) = 4,2, σ(X) ≈ 2,05.

Exercice corrigé : QCM à 5 questions

Énoncé : un QCM comporte 20 questions à 4 choix possibles, dont 1 seul correct. L’élève répond au hasard. Soit X = nombre de réponses correctes.

• Modélisation : X suit B(20, 0,25) (n = 20 questions, p = 1/4 = 0,25).
• P(X = 5) = C(20, 5) × 0,25⁵ × 0,75¹⁵ ≈ 0,202.
• P(X ≥ 10) : à calculer avec la calculatrice (loi binomiale cumulée). Résultat ≈ 0,014 (très improbable).
• Espérance : E(X) = 20 × 0,25 = 5. En moyenne, 5 bonnes réponses au hasard.

Exercice corrigé : contrôle qualité

Énoncé : une usine produit des pièces dont 2 % sont défectueuses. On prélève un échantillon de 50 pièces. Soit X = nombre de pièces défectueuses.

• Modélisation : X suit B(50, 0,02).
• P(X = 0) = 0,98⁵⁰ ≈ 0,364.
• P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) ≈ 0,636. Il y a 63,6 % de chances d’avoir au moins une pièce défectueuse.
• P(X ≤ 3) : à calculer avec la calculatrice. Résultat ≈ 0,982.

Comment utiliser la calculatrice ?

Sur calculatrices TI ou Casio :

• binomFRép(n, p, k) sur TI ou BinomialPD sur Casio : P(X = k).
• binomFDP(n, p, k) sur TI ou BinomialCD sur Casio : P(X ≤ k) (cumulative).
• P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
• P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a-1).

Quels pièges éviter avec la loi binomiale ?

Erreurs typiques :

• Conditions d’application non vérifiées : si les épreuves ne sont pas indépendantes (tirage sans remise dans une petite urne), la loi binomiale ne s’applique pas.
• Confusion P(X = k) et P(X ≤ k) : lire attentivement l’énoncé.
• Oubli de la formule des intervalles : P(X ≥ k) ≠ 1 - P(X ≤ k), mais 1 - P(X ≤ k-1).
• Mauvais calcul du coefficient binomial : C(n, k) ≠ n!/k!.

Comment FlashBac t’aide sur la loi binomiale ?

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