Cours complet : Dynamique d'un système électrique
L'étude des circuits électriques est essentielle en physique. Un circuit électrique est un ensemble de composants (générateur, résistances, condensateurs, bobines) reliés par des fils conducteurs. Le courant électrique est un déplacement ordonné de porteurs de charges (électrons dans les métaux, ions dans les solutions).
Les lois fondamentales de l'électricité (loi d'Ohm, lois de Kirchhoff) permettent de calculer les tensions, courants et puissances dans les circuits. Le condensateur et la bobine introduisent des régimes transitoires et des phénomènes d'oscillation.
Ce chapitre aborde les lois des circuits, le condensateur, la bobine, les circuits RC et RLC, et les aspects énergétiques de l'électricité.
1. Lois fondamentales des circuits électriques
L'intensité du courant I est le débit de charge : I = dq/dt, en ampères (A). La tension U entre deux points est la différence de potentiel : U_AB = V_A - V_B, en volts (V). La loi d'Ohm pour une résistance R donne : U_R = R.I.
La loi des noeuds (première loi de Kirchhoff) stipule que la somme des courants entrants dans un noeud est égale à la somme des courants sortants. La loi des mailles (deuxième loi de Kirchhoff) stipule que la somme des tensions le long d'une maille fermée est nulle.
Les résistances en série s'additionnent : R_eq = R1 + R2 + ... Les résistances en parallèle : 1/R_eq = 1/R1 + 1/R2 + ... Pour deux résistances en parallèle : R_eq = R1.R2/(R1+R2). Le diviseur de tension donne : U1 = E.R1/(R1+R2).
La puissance dissipée par une résistance est P = U.I = R.I² = U²/R. L'énergie dissipée pendant un temps t est E = P.t. C'est l'effet Joule.
2. Le condensateur
Un condensateur est un composant qui stocke de l'énergie sous forme de champ électrique entre ses armatures. La charge q est proportionnelle à la tension : q = C.U, où C est la capacité en farads (F). L'intensité du courant est i = dq/dt = C.dU/dt.
L'énergie stockée dans un condensateur est E_C = (1/2).C.U². Pour un condensateur plan : C = epsilon_0.S/e, où S est la surface des armatures, e la distance entre elles, et epsilon_0 = 8,85 x 10^-12 F/m.
Circuit RC (charge) : quand on connecte un condensateur à un générateur de fem E via une résistance R, la loi des mailles donne : E = R.i + U_C = RC.dU_C/dt + U_C. La solution est U_C(t) = E.(1 - exp(-t/(RC))). La constante de temps tau = RC est le temps caractéristique de charge.
A t = tau : U_C = 0,63.E. A t = 5.tau : U_C ≈ 0,99.E (charge quasi complète). Lors de la décharge (sans fem) : U_C(t) = U_0.exp(-t/(RC)). A t = tau : U_C = 0,37.U_0.
3. La bobine et le circuit RL
Une bobine idéale (d'inductance L, en henrys H) s'oppose aux variations de courant. La tension aux bornes d'une bobine est U_L = L.di/dt. L'énergie stockée est E_L = (1/2).L.I².
Circuit RL (établissement du courant) : quand on connecte une bobine L et une résistance R à un générateur E, la loi des mailles donne : E = R.i + L.di/dt. La solution est i(t) = (E/R).(1 - exp(-t/(L/R))). La constante de temps est tau = L/R.
A t = tau : i = 0,63.E/R. A t = 5.tau : i ≈ E/R (régime permanent atteint). Lors de la rupture du courant : i(t) = I_0.exp(-t/(L/R)). La bobine s'oppose à la coupure du courant (loi de Lenz).
La loi de Lenz est fondamentale : la bobine produit une fem qui s'oppose à la cause qui lui a donné naissance. Quand le courant augmente, la bobine crée une tension qui freine l'augmentation. Quand le courant diminue, elle crée une tension qui freine la diminution.
4. Circuit RLC et oscillations
Le circuit RLC série (résistance R, bobine L, condensateur C) peut produire des oscillations. L'équation différentielle du circuit est : L.d²q/dt² + R.dq/dt + q/C = 0 (en décharge). Soit : d²U_C/dt² + (R/L).dU_C/dt + U_C/(LC) = 0.
La pulsation propre est omega_0 = 1/sqrt(LC) et la fréquence propre f_0 = 1/(2.pi.sqrt(LC)). Le coefficient d'amortissement est R/(2L). Trois régimes sont possibles : pseudo-périodique (R faible, oscillations amorties), critique (R = 2.sqrt(L/C)), apériodique (R élevé, pas d'oscillation).
Sans résistance (R = 0, circuit LC idéal), les oscillations sont sinusoïdales non amorties de pulsation omega_0. L'énergie oscille entre le condensateur ((1/2)CU²) et la bobine ((1/2)LI²) : l'énergie totale E = (1/2)CU² + (1/2)LI² est conservée.
Avec R > 0, l'énergie est progressivement dissipée par effet Joule dans la résistance. Les oscillations s'amortissent et le circuit tend vers l'équilibre (q = 0, i = 0). Le facteur de qualité Q = L.omega_0/R mesure l'amortissement : Q élevé = faible amortissement.
Conclusion
Les circuits électriques obéissent aux lois d'Ohm et de Kirchhoff. Le condensateur (q = CU) et la bobine (U = Ldi/dt) introduisent des régimes transitoires caractérisés par des constantes de temps (tau = RC ou L/R). Le circuit RLC produit des oscillations de fréquence f_0 = 1/(2pi.sqrt(LC)), amorties par la résistance. L'énergie oscille entre formes électrique et magnétique.
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