Cours complet : Décrire un mouvement
La cinematique est l'étude du mouvement des corps sans s'interesser aux causes (forces). Decrire un mouvement necessite de définir un referentiel, un systeme de coordonnees et les grandeurs cinematiques (position, vitesse, acceleration).
Le mouvement d'un point materiel est decrit par son vecteur position OM(t), son vecteur vitesse v(t) et son vecteur acceleration a(t). La nature du mouvement (rectiligne, circulaire, parabolique) et son regime (uniforme, uniformement accelere) dependent de ces grandeurs.
Ce chapitre presente les outils fondamentaux de la cinematique : reperage dans l'espace, calcul de vitesse et d'acceleration, et description des differents types de mouvements.
1. Referentiel et systeme de coordonnees
Un referentiel est un solide de reference par rapport auquel on étudie le mouvement, muni d'un repere d'espace et d'une horloge. Le referentiel terrestre est lie a la surface de la Terre. Le referentiel geocentrique est centre sur la Terre avec des axes diriges vers des etoiles lointaines. Le referentiel heliocentrique est centre sur le Soleil.
En coordonnees cartesiennes, la position d'un point M est définie par ses coordonnees (x, y, z). Le vecteur position OM = x.ux + y.uy + z.uz. En coordonnees polaires (plan), OM est défini par (r, theta). Les coordonnees curvilignes sont utilisees pour les mouvements le long d'une trajectoire connue.
Le choix du referentiel et du systeme de coordonnees depend du probleme étudie. Pour un mouvement rectiligne, un repere unidimensionnel suffit. Pour un mouvement circulaire, les coordonnees polaires sont plus adaptees.
2. Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : v = dOM/dt. En coordonnees cartesiennes : v = (dx/dt).ux + (dy/dt).uy + (dz/dt).uz = vx.ux + vy.uy + vz.uz. La vitesse est tangente a la trajectoire a chaque instant.
La norme du vecteur vitesse (ou vitesse) est : v = ||v|| = sqrt(vx² + vy² + vz²). Elle correspond a la rapidite du deplacement le long de la trajectoire.
Experimentalement, la vitesse instantanee peut etre approchee par la vitesse moyenne sur un intervalle de temps court : v(ti) ≈ M(i-1)M(i+1) / (2.delta_t), ou M(i-1) et M(i+1) sont les positions encadrant l'instant ti.
3. Le vecteur acceleration
Le vecteur acceleration est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : a = dv/dt = d²OM/dt². En coordonnees cartesiennes : a = ax.ux + ay.uy + az.uz, avec ax = dvx/dt, ay = dvy/dt, az = dvz/dt.
L'acceleration a deux composantes : la composante tangentielle at (parallele a v, modifie la norme de v) et la composante normale an (perpendiculaire a v, modifie la direction de v). Pour un mouvement circulaire de rayon R : an = v²/R (acceleration centripete).
Si a est dans le meme sens que v, le mouvement est accelere. Si a est en sens oppose a v, le mouvement est decelere. Si a = 0, le mouvement est uniforme (v = constante).
4. Les differents types de mouvements
Le mouvement rectiligne uniforme (MRU) : trajectoire droite, vitesse constante (a = 0). Les équations horaires sont : x(t) = x0 + vx.t.
Le mouvement rectiligne uniformement accelere (MRUA) : trajectoire droite, acceleration constante. Les équations horaires sont : x(t) = x0 + v0.t + (1/2).a.t², vx(t) = v0 + a.t. Exemple : chute libre verticale sans frottement.
Le mouvement circulaire uniforme (MCU) : trajectoire circulaire, norme de la vitesse constante. L'acceleration est centripete : a = v²/R, dirigee vers le centre. La periode T = 2.pi.R/v et la frequence f = 1/T. La vitesse angulaire omega = 2.pi.f = v/R.
Le mouvement parabolique : projection dans un champ de pesanteur uniforme, avec une vitesse initiale non verticale. La trajectoire est une parabole.
Conclusion
La description du mouvement repose sur les vecteurs position, vitesse et acceleration. Le choix du referentiel et du systeme de coordonnees est essentiel. Les mouvements fondamentaux (MRU, MRUA, MCU, parabolique) sont decrits par des équations horaires specifiques qui relient position, vitesse et acceleration.
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