Annales Bac Maths spé 2025 corrigées : 4 exercices détaillés

Quelle était la structure du sujet ?

L’épreuve de spécialité mathématiques dure 4 heures, calculatrice en mode examen autorisée. Le sujet du jour 1 de Métropole comportait quatre exercices obligatoires.

• Exercice 1 (5 points) : probabilités, groupes sanguins et donneurs universels, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Exercice 2 (6 points) : lectures graphiques, étude de f(x) = x(2(ln x)² − 3 ln x + 2), convexité, calcul d’aire.
• Exercice 3 (4 points) : vrai-faux justifié de géométrie dans l’espace.
• Exercice 4 (5 points) : superficie couverte par la posidonie, suite puis équation différentielle.

Exercice 1 : probabilités et donneurs universels

L’arbre se complète avec P(O) = 1 − 0,45 − 0,10 − 0,03 = 0,42. Ensuite, P(B ∩ R) = 0,10 × 0,84 = 0,084 : 8,4 % des Français sont du groupe B et de rhésus positif.

• P_O(R) : avec la formule des probabilités totales, 0,8397 = 0,45 × 0,85 + 0,084 + 0,03 × 0,82 + 0,42 × P_O(R), d’où P_O(R) = 0,3486 / 0,42 = 0,83.
• Donneur universel : P(O ∩ R̄) = 0,42 × 0,17 = 0,0714.
• Loi binomiale : X suit B(100 ; 0,0714) (100 épreuves de Bernoulli indépendantes, tirage assimilé à un tirage avec remise). P(X ≤ 7) ≈ 0,577 ; E(X) = 7,14 ; V(X) = 100 × 0,0714 × 0,9286 ≈ 6,63.
• Moyenne M_N : elle représente le nombre moyen de donneurs universels par échantillon sur les N villes. E(M_N) = 7,14 et V(M_N) = 6,63 / N par indépendance.
• Bienaymé-Tchebychev : 7 < M_N < 7,28 équivaut à |M_N − 7,14| < 0,14. Il suffit que 1 − 6,63 / (N × 0,14²) ≥ 0,95, soit N ≥ 6765,3 : la plus petite valeur est N = 6766.

Exercice 2 : fonction logarithme, convexité et aire

Partie A, lectures graphiques : la tangente en A(1 ; 2) passe par C(3 ; 0), donc f′(1) = −1. La courbe a deux extremums sur ]0 ; 3], donc f′(x) = 0 a deux solutions. En 0,2, la courbe est concave, donc f″(0,2) < 0.

• Signe de f : 2X² − 3X + 2 a un discriminant négatif (9 − 16 = −7), donc ne s’annule jamais ; comme x > 0, f(x) ≠ 0 et la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.
• Limite : en +∞, ln x → +∞, donc 2(ln x)² − 3 ln x + 2 → +∞ et f(x) → +∞.
• Convexité : f″(x) = (4 ln x + 1)/x est positive si et seulement si x ≥ e^−1/4. f est concave puis convexe, avec un point d’inflexion d’abscisse e^−1/4 ≈ 0,78.
• Position : f est convexe sur [1 ; +∞[, donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier de T_B : y = 2x − e (f(e) = e et f′(e) = 2).
• Aire : par parties, ∫₁^e x ln x dx = (e² + 1)/4. Avec ∫₁^e x(ln x)² dx = (e² − 1)/4, on obtient 𝒜 = ∫₁^e (f(x) − (2x − e)) dx = (3e² − 4e − 5)/4 ≈ 1,57 unité d’aire.

Exercice 3 : vrai-faux de géométrie dans l’espace

Chaque réponse doit être justifiée : un contre-exemple ou un calcul suffit, mais une réponse sans justification ne rapporte rien.

• Affirmation 1 : vraie. La représentation passe par B (t = 0) et son vecteur directeur (−2 ; −1 ; 3) est colinéaire à AB⃗(4 ; 2 ; −6).
• Affirmation 2 : fausse. n⃗(5 ; −2 ; 1) est orthogonal à OA⃗(−1 ; 0 ; 5), mais n⃗ · OB⃗ = 15 − 4 − 1 = 10 ≠ 0.
• Affirmation 3 : fausse. Le système donne s = 2,5 et k = −4, qui vérifient aussi la troisième équation : les droites sont sécantes, donc coplanaires.
• Affirmation 4 : vraie. d(C ; 𝒫) = |2 + 1 + 2 + 1| / √3 = 6/√3 = 2√3.

Exercice 4 : croissance des posidonies

Partie A : u₁ = −0,02 + 1,3 = 1,28 ha au 1er juillet 2025.

• Récurrence : avec h croissante sur [0 ; 20], si 1 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ 20, alors h(1) ≤ h(u_n) ≤ h(u_n+1) ≤ h(20), soit 1,28 ≤ u_n+1 ≤ u_n+2 ≤ 18. Ne pas oublier l’initialisation (u₀ = 1 ≤ u₁ = 1,28 ≤ 20).
• Limite : la suite est croissante et majorée, donc converge vers L, qui vérifie L = −0,02L² + 1,3L, soit L = 0 ou L = 15. Comme u_n ≥ 1, L = 15.
• Seuil de 14 ha : la suite tend vers 15 > 14, donc elle finit par dépasser 14. Algorithme : tant que u ≤ 14, n prend la valeur n + 1 et u prend la valeur −0,02u² + 1,3u.
• Partie B : g = 1/f vérifie g′ = −0,3g + 0,02, dont les solutions sont g(t) = Ce^−0,3t + 1/15. Avec g(0) = 1, C = 14/15 et f(t) = 15/(14e^−0,3t + 1), qui tend vers 15.
• f(t) > 14 : équivaut à e^−0,3t < 1/196, soit t > ln(196)/0,3 ≈ 17,6 : selon ce modèle, la posidonie dépasserait 14 ha vers 2042.

Quels chapitres étaient mobilisés ?

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres, fonction logarithme et convexité, calcul intégral, géométrie dans l’espace, suites et équations différentielles. Le sujet balaie presque tout le programme de Terminale : le réviser par chapitre ne suffit pas, il faut s’entraîner sur des sujets complets.

Comment t’entraîner sur ce sujet ?

Le sujet officiel et son corrigé, ainsi que le sujet du jour 2, sont dans l’espace Annales de FlashBac, avec un chronomètre de 4 heures. Les annales du Bac Maths présentent les sessions précédentes.