Cours complet : Mouvement dans un champ de gravitation
Le mouvement des planètes et des satellites dans le champ de gravitation est un des grands succès de la mécanique newtonienne. Contrairement au champ uniforme, le champ de gravitation est un champ central : la force est toujours dirigée vers le centre attracteur et sa norme dépend de la distance. Cela conduit à des orbites elliptiques (lois de Kepler) et non paraboliques.
Les lois de Kepler, établies empiriquement au début du XVIIe siècle, ont été expliquées par Newton grâce à la loi de gravitation universelle. L'étude des orbites circulaires, cas particulier simplifié, permet de déduire la vitesse orbitale, la période et l'altitude des satellites artificiels.
Ce chapitre aborde les lois de Kepler, les orbites circulaires, la notion de satellite géostationnaire et les applications à la mécanique spatiale.
1. Les lois de Kepler
Les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil (ou de tout satellite autour d'un corps central). Première loi (loi des orbites) : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers. Le cercle est un cas particulier d'ellipse.
Deuxième loi (loi des aires) : le segment reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales en des durées égales. Conséquence : la planète se déplace plus vite quand elle est proche du Soleil (périhélie) et plus lentement quand elle en est loin (aphélie).
Troisième loi (loi des périodes) : le carré de la période de révolution T est proportionnel au cube du demi-grand axe a de l'orbite : T² = (4.pi²/(G.M)).a³, où M est la masse du corps central. Pour des orbites circulaires de rayon r : T² = (4.pi²/(G.M)).r³. Le rapport T²/a³ est constant pour tous les satellites d'un même corps central.
Cette troisième loi permet de déterminer la masse du corps central si on connaît T et a, ou de calculer la période orbitale connaissant le rayon. Newton a montré que ces lois découlent de la loi de gravitation universelle F = G.M.m/r².
2. Mouvement circulaire d'un satellite
Pour une orbite circulaire de rayon r, le PFD donne : G.M.m/r² = m.v²/r (la force gravitationnelle fournit l'accélération centripète). On en déduit la vitesse orbitale : v = sqrt(G.M/r). La vitesse diminue quand le rayon augmente : les satellites éloignés sont plus lents.
La période orbitale est T = 2.pi.r/v = 2.pi.r.sqrt(r/(G.M)) = 2.pi.sqrt(r³/(G.M)). On retrouve la troisième loi de Kepler : T² = (4.pi²/(G.M)).r³.
L'énergie mécanique d'un satellite en orbite circulaire est Em = Ec + Ep = (1/2).m.v² - G.M.m/r. En utilisant v² = G.M/r : Em = (1/2).G.M.m/r - G.M.m/r = -G.M.m/(2r). L'énergie mécanique est NEGATIVE, ce qui signifie que le satellite est lié gravitationnellement.
Plus le rayon orbital est grand, plus Em est proche de zéro (moins négatif) : il faut fournir de l'énergie pour élever un satellite sur une orbite plus haute. L'énergie de libération est |Em| = G.M.m/(2r).
3. Le satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire est un satellite dont la période de révolution est exactement égale à la période de rotation de la Terre (T = 23 h 56 min = 86 164 s). Vu depuis la Terre, il apparaît immobile dans le ciel, ce qui le rend idéal pour les télécommunications et la météorologie.
Le satellite géostationnaire doit satisfaire trois conditions : (1) orbite circulaire, (2) période T = 86 164 s, (3) orbite dans le plan de l'équateur. La troisième loi de Kepler donne le rayon de l'orbite géostationnaire : r_geo = (G.M.T²/(4.pi²))^(1/3).
Application numérique : r_geo = (6,674e-11 x 5,97e24 x (86164)²/(4.pi²))^(1/3) ≈ 42 200 km (soit une altitude de 35 800 km au-dessus de la surface terrestre). La vitesse orbitale est v = 2.pi.r/T ≈ 3,07 km/s.
Trois satellites géostationnaires espacés de 120° sur l'orbite couvrent la quasi-totalité de la surface terrestre (sauf les régions polaires). C'est le principe utilisé par les systèmes de télécommunications par satellite.
4. Impesanteur et chute libre orbitale
Un satellite en orbite est en chute libre permanente autour de la Terre : il tombe continuellement, mais sa vitesse horizontale fait qu'il manque toujours la Terre. Les occupants d'un satellite sont aussi en chute libre et ressentent l'impesanteur : leur poids apparent est nul.
L'impesanteur ne signifie pas l'absence de gravité. A l'altitude de l'ISS (400 km), g ≈ 8,7 m.s-2 (soit environ 89% de g à la surface). La gravité est bien présente ; c'est elle qui maintient le satellite en orbite. L'impesanteur résulte du fait que le satellite et tout ce qu'il contient sont en chute libre avec la même accélération.
Pour simuler l'impesanteur sur Terre, on utilise des vols paraboliques : un avion monte puis coupe ses moteurs et suit une trajectoire de chute libre pendant environ 20 secondes, pendant lesquelles les passagers flottent.
La vitesse cosmique (ou première vitesse cosmique) est la vitesse minimale pour orbiter au ras de la Terre : v1 = sqrt(gR) ≈ 7,9 km/s. La deuxième vitesse cosmique (vitesse de libération) est v2 = sqrt(2gR) ≈ 11,2 km/s : au-delà, l'objet s'échappe définitivement de l'attraction terrestre.
Conclusion
Le mouvement dans le champ de gravitation obéit aux lois de Kepler, expliquées par la gravitation universelle de Newton. Les orbites circulaires permettent de calculer la vitesse, la période et l'énergie des satellites. Le satellite géostationnaire illustre l'application concrète de ces lois. L'impesanteur en orbite est une chute libre permanente, et non l'absence de gravité.
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