Cours complet : Mouvement dans un champ uniforme
L'étude du mouvement dans un champ uniforme est une application directe du PFD. Un champ uniforme est un champ dont la valeur (norme, direction, sens) est la même en tout point de l'espace considéré. Les deux champs uniformes principaux au programme sont le champ de pesanteur g (approximation valable près de la surface terrestre) et le champ électrique E (entre les plaques d'un condensateur plan).
Dans un champ uniforme, la force subie par le système est constante, ce qui conduit à un mouvement uniformément varié (accélération constante). Le mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur et la déviation d'une particule chargée dans un champ électrique sont les applications fondamentales.
Ce chapitre développe les équations horaires du mouvement dans un champ uniforme, l'étude de la trajectoire parabolique et les analogies entre champ gravitationnel et champ électrique.
1. Chute libre et projectile dans le champ de pesanteur
Dans le champ de pesanteur uniforme g, un objet de masse m subit uniquement son poids P = mg (on néglige les frottements de l'air). Le PFD donne : ma = mg, soit a = g. L'accélération est constante, verticale et dirigée vers le bas.
En choisissant un repère (O, x horizontal, y vertical vers le haut), avec des conditions initiales v0 et angle alpha par rapport à l'horizontale : ax = 0 et ay = -g. Par intégration : vx(t) = v0.cos(alpha), vy(t) = v0.sin(alpha) - g.t. Et pour les positions : x(t) = v0.cos(alpha).t, y(t) = v0.sin(alpha).t - (1/2).g.t².
Le mouvement est uniforme selon x et uniformément décéléré puis accéléré selon y. La trajectoire est une parabole obtenue en éliminant t : y = tan(alpha).x - g.x²/(2.v0².cos²(alpha)). Cette équation est fondamentale.
La portée (distance horizontale quand y = 0) est L = v0².sin(2.alpha)/g. Elle est maximale pour alpha = 45°. La flèche (hauteur maximale) est H = v0².sin²(alpha)/(2g). Le temps de vol est T = 2.v0.sin(alpha)/g.
2. Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme
Un champ électrique uniforme E règne entre les plaques d'un condensateur plan. Une particule de charge q et de masse m placée dans ce champ subit la force électrique F = qE. Le PFD donne : ma = qE, soit a = qE/m.
L'accélération est constante et parallèle au champ E. Si la particule entre perpendiculairement au champ avec une vitesse v0 horizontale, le mouvement est analogue au projectile : uniforme selon la direction d'entrée et uniformément accéléré selon la direction du champ.
Les équations horaires sont identiques en structure à celles du projectile : x(t) = v0.t et y(t) = (1/2).(qE/m).t². La trajectoire est une parabole : y = qE.x²/(2m.v0²). La déviation à la sortie du condensateur de longueur L est : delta_y = qE.L²/(2m.v0²).
Cette déviation dépend du rapport q/m : les particules plus légères ou plus chargées sont davantage déviées. Ce principe est à la base du spectromètre de masse et de l'oscilloscope à tube cathodique.
3. Analogie entre champ gravitationnel et champ électrique
Le champ de pesanteur g et le champ électrique E sont tous deux des champs uniformes qui produisent des forces constantes et des trajectoires paraboliques. L'analogie est frappante : F_grav = mg est analogue à F_elec = qE, avec m jouant le rôle de q et g celui de E.
Dans les deux cas, le PFD donne une accélération constante (a = g ou a = qE/m) et les équations horaires ont la même structure mathématique. Le mouvement est uniforme dans la direction perpendiculaire au champ et uniformément varié dans la direction du champ.
Cependant, il existe des différences importantes. Le champ gravitationnel est toujours attractif (vers le centre de l'astre), tandis que la force électrique peut être attractive ou répulsive selon le signe de la charge q. De plus, la masse gravitationnelle est toujours positive, alors que la charge peut être positive ou négative.
Une autre différence fondamentale : en gravitation, l'accélération a = g est indépendante de la masse (universalité de la chute libre). En revanche, dans un champ électrique, l'accélération a = qE/m dépend du rapport charge/masse q/m, ce qui permet de séparer les particules selon leur masse (spectrométrie de masse).
4. Énergie et vitesse dans un champ uniforme
Dans un champ uniforme, la conservation de l'énergie mécanique (si pas de frottement) permet de relier vitesse et position. Pour le champ de pesanteur : Em = Ec + Ep = (1/2)mv² + mgy = constante. Au point le plus haut, v est minimale et Ep maximale.
Pour un projectile lancé à vitesse v0, la vitesse au sommet de la trajectoire est vx = v0.cos(alpha) (la composante horizontale est conservée). La vitesse en tout point est v = sqrt(vx² + vy²). Au retour au sol (même altitude), la norme de la vitesse est v0 (mais le vecteur a changé de direction).
Dans un champ électrique, l'énergie potentielle électrique est Ep = qV, où V est le potentiel électrique. Pour un champ uniforme entre deux plaques : V = E.d (avec d la distance entre les plaques) et delta_Ep = q.delta_V. Le théorème de l'énergie cinétique donne : delta_Ec = -delta_Ep = -q.delta_V.
Un électron accéléré sous une tension U acquiert une énergie cinétique : (1/2)mv² = e.U, soit v = sqrt(2eU/m). Cette relation est utilisée dans les accélérateurs de particules et les tubes cathodiques.
Conclusion
Le mouvement dans un champ uniforme (pesanteur ou électrique) se caractérise par une accélération constante et une trajectoire parabolique. Les équations horaires et la conservation de l'énergie permettent de déterminer complètement le mouvement. L'analogie entre champ gravitationnel et champ électrique est riche mais présente des différences fondamentales.
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