Probabilités conditionnelles Bac Maths : arbre, Bayes, exercices

Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle P(A | B) est la probabilité que l’événement A se produise sachant que B s’est produit. Formule :

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

Condition : P(B) ≠ 0.

Comment construire un arbre pondéré ?

L’arbre pondéré est l’outil graphique pour représenter les probabilités conditionnelles. Structure :

• 1ᵉʳ niveau : les événements de la partition (B et son contraire B̄).
• 2ᵉ niveau : les conditionnels (A sachant B, A sachant B̄, etc.).
• Probabilité d’un chemin : produit des probabilités le long des branches.
• Probabilité d’un événement : somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Si (B₁, B₂, …, Bₙ) forme une partition de l’univers (events disjoints dont l’union est Ω), alors :

P(A) = P(A | B₁) × P(B₁) + P(A | B₂) × P(B₂) + … + P(A | Bₙ) × P(Bₙ)

Utile pour calculer la probabilité d’un événement quand on connaît ses probabilités conditionnelles.

Qu’est-ce que la formule de Bayes ?

La formule de Bayes permet d’inverser une probabilité conditionnelle :

P(B | A) = P(A | B) × P(B) / P(A)

Très utilisée pour des problèmes médicaux (test diagnostique) ou de classification.

Exercice corrigé : test médical

Une maladie touche 1 % de la population. Un test détecte la maladie avec une fiabilité de 95 % (sensibilité) et un taux de faux positifs de 5 % (spécificité = 95 %). Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu’elle soit réellement malade ?

• Notations : M = malade, T+ = test positif. On veut P(M | T+).
• Données : P(M) = 0,01, P(T+ | M) = 0,95, P(T+ | M̄) = 0,05.
• Théorème des probabilités totales : P(T+) = 0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059.
• Bayes : P(M | T+) = 0,95 × 0,01 / 0,059 ≈ 0,161.
• Conclusion : seulement 16 % de chance d’être réellement malade malgré un test positif. C’est le paradoxe du test diagnostique.

Exercice corrigé : usine et défauts

Une usine a 3 chaînes de production. Chaîne A produit 50 % des pièces, dont 2 % sont défectueuses. Chaîne B produit 30 %, dont 4 % sont défectueuses. Chaîne C produit 20 %, dont 1 % sont défectueuses. Une pièce prise au hasard est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de la chaîne B ?

• Notations : A, B, C = chaînes. D = défectueuse. On veut P(B | D).
• P(D) = 0,5 × 0,02 + 0,3 × 0,04 + 0,2 × 0,01 = 0,01 + 0,012 + 0,002 = 0,024.
• P(B | D) = P(D | B) × P(B) / P(D) = 0,04 × 0,3 / 0,024 = 0,5.
• Conclusion : 50 % de chance que la pièce défectueuse vienne de la chaîne B (alors que B ne représente que 30 % de la production).

Indépendance et probabilités conditionnelles

Deux événements A et B sont indépendants si :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ou de manière équivalente P(A | B) = P(A).

Attention : indépendant ≠ incompatible. Deux événements incompatibles (P(A ∩ B) = 0) ne sont jamais indépendants (sauf si P(A) ou P(B) = 0).

Quels pièges éviter ?

Erreurs typiques au Bac :

• Confondre P(A | B) et P(B | A) : c’est l’erreur la plus fréquente. La formule de Bayes existe précisément pour les distinguer.
• Oublier la formule des probabilités totales : nécessaire pour calculer P(A) à partir des conditionnelles.
• Arbre mal construit : oublier que la somme des probabilités sortant d’un nœud doit faire 1.
• Confondre indépendant et incompatible : deux notions distinctes.

Comment FlashBac t’aide sur les probas conditionnelles ?

Sur FlashBac Bac Maths tu trouves le chapitre Probabilités avec cours, fiche, flashcards, QCM et plus de 20 exercices corrigés sur les probabilités conditionnelles et la formule de Bayes.

Le Prof IA Maths peut t’aider à construire un arbre et corriger un calcul. Pour aller plus loin, consulte aussi nos annales et méthodes.