Produit scalaire dans l'espace

Dans un repere orthonorme (O, i, j, k) de l'espace, le produit scalaire de deux vecteurs u(x1, y1, z1) et v(x2, y2, z2) est défini analytiquement par $u.v = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2$. Ce nombre réel generalise le produit scalaire du plan en ajoutant la troisieme composante. La définition géométrique equivalente est $u.v = $||u||$ *$||v||$ * cos(theta)$, ou theta designe l'angle entre les vecteurs u et v, et $||u||$,$||v||$ designent leurs normes respectives. Ces deux définitions coincident et permettent de choisir la méthode de calcul la plus adaptee selon les donnees du probleme. Le produit scalaire possede des propriétés algébriques fondamentales. La symétrie :$u.v = v $.u. La bilinearite : (lambda*u).v = lambda*(u.v) et (u + w).v = u.v + w.v pour tout réel lambda et tout vecteur w. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-meme donne le carré de sa norme :$u.u = $||u||$^2 = x1^2 + y1^2 + z1^2$. Les vecteurs de la base orthonormee verifient $i.i = j $.j =$k.k = 1 et i $.j =$i.k = j $.k = 0, propriétés qui justifient la formule analytique. L'identite de polarisation $||u + v||$^2 =$||u||$^2 + 2*u.v +$||v||$^2 relie norme et produit scalaire et permet de calculer u.v a partir des normes :$u.v = ($||u + v||$^2 -$||u||$^2 -$||v||$^2) / 2$.

La norme d'un vecteur u(x, y, z) dans un repere orthonorme est $||u||$ =$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Elle represente la longueur du vecteur et se deduit directement du produit scalaire :$||u||$ =$sqrt{u.u}$. La norme est toujours positive ou nulle, et $||u||$ = 0 si et seulement si u est le vecteur nul. La distance entre deux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) est la norme du vecteur AB : AB =$||AB||$ =$sqrt{(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2}$. Cette formule generalise le théorème de Pythagore a trois dimensions. Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Pour tout vecteur u non nul, le vecteur u /$||u||$ est unitaire et a la meme direction que u : on dit qu'on normalise le vecteur. L'inégalité triangulaire stipule que pour tous vecteurs u et v,$||u + v||$ <=$||u||$ +$||v||$, avec égalité si et seulement si u et v sont colineaires de meme sens. Cette inégalité traduit le fait que le chemin direct est toujours le plus court. La norme vérifié aussi $||lambda * u||$ = |lambda| *$||u||$ pour tout réel lambda, propriété de compatibilite avec la multiplication scalaire. Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnees M((xA + xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2).

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :$u.v = 0$. C'est le critère fondamental d'orthogonalite dans l'espace, équivalent a dire que l'angle entre les deux vecteurs est de pi/2 (90 degres). Par convention, le vecteur nul est orthogonal a tout vecteur. L'angle theta entre deux vecteurs non nuls u et v est determine par la formule cos(theta) = u.v / ($||u||$ *$||v||$), avec theta dans [0, pi]. On en deduit theta = arccos(u.v / ($||u||$ *$||v||$)). Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c'est-a-dire si n1.n2 = 0 ou n1 et n2 sont les vecteurs normaux respectifs. Une droite est perpendiculaire a un plan si et seulement si son vecteur directeur est colineaire au vecteur normal du plan (ou, de maniere equivalente, si le vecteur directeur de la droite est orthogonal a tout vecteur du plan). L'angle entre une droite de vecteur directeur d et un plan de vecteur normal n est donne par sin(alpha) = |d.n| / ($||d||$ *$||n||$). L'angle diedre entre deux plans peut se calculer comme l'angle entre leurs vecteurs normaux. La notion d'orthogonalite est au coeur de la géométrie dans l'espace : elle intervient dans les projections, les distances et les symetries.

Le produit scalaire permet de résoudre de nombreux problemes metriques dans l'espace. La distance d'un point M0(x0, y0, z0) a un plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnee par la formule d(M0, P) = |a*x0 + b*y0 + c*z0 + d| /$sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Cette formule se demontre par projection orthogonale de M0 sur le plan. Le projete orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M. Si n(a, b, c) est le vecteur normal du plan et A un point du plan, alors MH = ((MA.n) /$||n||$^2) * n, et les coordonnees de H se deduisent de M + MH. L'équation d'une sphere de centre Omega(a, b, c) et de rayon R est (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2. En developpant, on obtient la forme x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + a^2 + b^2 + c^2 - R^2 = 0. Reciproquement, une équation x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz +$G = 0 represente une sphere si et seulement si (D/2)^2 + (E/2)^2 + (F/2)^2 - G > 0$. Le plan tangent a une sphere de centre Omega en un point T de la sphere est le plan passant par T et de vecteur normal Omega*T. Son équation est (xT - a)(x - xT) + (yT - b)(y - yT) + (zT - c)(z - zT) = 0. Un point M est a l'interieur de la sphere si Omega*M < R, sur la sphere si Omega*M = R, et a l'exterieur si Omega*M > R.