Géométrie dans l'espace (vecteurs, droites, plans)

Dans l'espace muni d'un repere orthonorme (O, i, j, k), tout vecteur u se decomposé de maniere unique sous la forme u = x*i + y*j + z*k, ou (x, y, z) sont ses coordonnees. Le vecteur AB, ou A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB), a pour coordonnees (xB - xA, yB - yA, zB - zA). Les opérations sur les vecteurs se font coordonnee par coordonnee : la somme u + v = (x + x', y + y', z + z'), le produit par un scalaire k*u = (k*x, k*y, k*z). Le produit scalaire de u(x, y, z) et v(x', y', z') vaut u.v = x*x' + y*y' + z*z'. La norme du vecteur u est ||u|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). Deux vecteurs u et v sont colineaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k*v, ce qui equivaut a dire que les coordonnees sont proportionnelles. Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement si le determinant det(u, v, w) = 0. Ce determinant se calcule par la formule : det(u, v, w) = x(y'z'' - z'y'') - y(x'z'' - z'x'') + z(x'y'' - y'x'') ou u(x,y,z), v(x',y',z'), w(x'',y'',z''). Si trois vecteurs ne sont pas coplanaires, ils forment une base de l'espace, et tout vecteur de l'espace peut alors s'écrire de maniere unique comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs. En particulier, (i, j, k) est la base canonique orthonormee de l'espace. La colinearite de deux vecteurs traduit géométriquement le parallelisme de deux droites ou l'appartenance a une meme droite.

Une droite de l'espace est entierement determinee par un point A(a, b, c) et un vecteur directeur u(alpha, beta, gamma). Sa représentation parametrique est : x = a + alpha*t, y = b + beta*t, z = c + gamma*t, ou t parcourt R. Un point M(x, y, z) appartient a la droite si et seulement s'il existe un réel t verifiant ce systeme. Contrairement au plan, une droite de l'espace n'admet pas d'équation cartesienne unique : elle est l'intersection de deux plans, donc définie par un systeme de deux équations. Deux droites D1 et D2 de l'espace admettent trois positions relatives possibles : (1) elles sont paralleles (confondues ou strictement paralleles) si leurs vecteurs directeurs sont colineaires ; (2) elles sont secantes si elles ont un unique point commun, ce qui implique qu'elles sont coplanaires ; (3) elles sont non coplanaires si elles ne sont ni paralleles ni secantes. Pour déterminer la position relative de deux droites, on cherche d'abord si les vecteurs directeurs sont colineaires. Si non, on resout le systeme formant l'intersection : si le systeme admet une solution, les droites sont secantes ; sinon elles sont non coplanaires. On peut aussi utiliser le determinant : si D1 passe par A avec direction u, et D2 passe par B avec direction v, alors D1 et D2 sont coplanaires si et seulement si det(AB, u, v) = 0. Dans le cas secant, le point d'intersection s'obtient en substituant la valeur du parametre trouvee.

Un plan de l'espace peut etre défini de plusieurs manieres equivalentes. La plus courante est l'équation cartesienne ax + by + cz + d = 0, ou le vecteur n(a, b, c) est un vecteur normal au plan. Un plan peut aussi etre défini par un point A et un vecteur normal n : le plan est l'ensemble des points M tels que AM.n = 0. En developpant, on retrouve l'équation cartesienne. Un plan peut etre défini par un point A et deux vecteurs directeurs u et v non colineaires : tout point M du plan vérifié AM = s*u + t*v, ce qui donne la représentation parametrique x = xA + s*xu + t*xv, y = yA + s*yu + t*yv, z = zA + s*zu + t*zv. Un plan peut aussi etre défini par trois points non alignes A, B, C : on prend alors u = AB et v = AC comme vecteurs directeurs. Pour obtenir l'équation cartesienne a partir de trois points, on determine le vecteur normal n en resolvant le systeme AB.n = 0 et AC.n = 0, ou bien on utilise le produit vectoriel n = AB ^ AC (hors programme mais utile). L'équation cartesienne est unique a un facteur multiplicatif pres. Pour déterminer d, on substitue les coordonnees d'un point connu du plan dans l'équation ax + by + cz + d = 0. Deux plans sont identiques si et seulement si leurs équations sont proportionnelles.

L'étude des positions relatives entre droites et plans est une competence fondamentale. Pour une droite D de vecteur directeur u et un plan P de vecteur normal n, il y a deux cas : si u.n = 0, la droite est parallele au plan (incluse si un point de D appartient a P, strictement parallele sinon) ; si u.n != 0, la droite est secante au plan en un unique point. Pour trouver ce point d'intersection, on substitue la représentation parametrique de D dans l'équation cartesienne de P, ce qui donne une équation en t que l'on resout. Pour deux plans P1 : a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 et P2 : a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, on compare les vecteurs normaux n1(a1, b1, c1) et n2(a2, b2, c2). Si n1 et n2 sont colineaires (n1 = k*n2), les plans sont paralleles (confondus si d1 = k*d2, strictement paralleles sinon). Si n1 et n2 ne sont pas colineaires, les plans sont secants et leur intersection est une droite. Pour déterminer cette droite d'intersection, on resout le systeme forme par les deux équations : on exprime deux inconnues en fonction de la troisieme (qui sert de parametre). Trois plans peuvent se couper en un unique point (systeme de rang 3), en une droite (systeme de rang 2) ou ne pas avoir de point commun (systeme incompatible). La résolution se fait par la méthode du pivot de Gauss.

L'orthogonalite dans l'espace presente une subtilite importante par rapport au plan : on distingue les droites orthogonales et les droites perpendiculaires. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (u.v = 0), meme si les droites ne se coupent pas. Deux droites sont perpendiculaires si elles sont a la fois orthogonales et secantes. Cette distinction n'existe pas dans le plan. Une droite D de vecteur directeur u est orthogonale a un plan P si et seulement si u est colineaire au vecteur normal n de P. Cela signifie que D est orthogonale a toute droite contenue dans P. Le plan mediateur d'un segment [AB] est le plan orthogonal a la droite (AB) passant par le milieu I de [AB]. Tout point du plan mediateur est equidistant de A et de B. Son équation s'obtient en ecrivant MA^2 = MB^2. Le projete orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point d'intersection de P avec la droite passant par M et orthogonale a P (de vecteur directeur n). On utilise la représentation parametrique de cette droite et l'équation de P pour déterminer H. La distance d'un point M0(x0, y0, z0) a un plan P : ax + by + cz + d = 0 est donnee par la formule d(M0, P) = |a*x0 + b*y0 + c*z0 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2). Cette formule est fondamentale et a retenir par coeur. La distance d'un point a une droite peut se calculer via le projete orthogonal ou en utilisant la relation de Pythagore dans le triangle rectangle forme.