Cours complet : Complément sur la dérivation
Ce chapitre approfondit les notions de dérivation vues en première en introduisant la convexite, la dérivée seconde et la dérivation de fonctions composées. La convexite d'une fonction se lit sur le signe de sa dérivée seconde : f''(x) > 0 signifie que la courbe est au-dessus de ses tangentes (convexe), f''(x) < 0 signifie qu'elle est en dessous (concave). Les points d'inflexion marquent les changements de convexite. On complete aussi le tableau des dérivées avec les fonctions composées : dérivée de f(ax+b), de sqrt(u), de 1/u, de u^n, de e^u, de ln(u). Ces outils permettent de mener des études de fonctions completes et de résoudre des problemes d'optimisation géométrique ou economique.
Prérequis
- dérivation : définition, nombre derive, tangente
- dérivées des fonctions usuelles (x^n, 1/x, sqrt(x), e^x, ln(x))
- Tableau de variation et signe de la dérivée
- équations de tangente : y = f'(a)(x-a) + f(a)
- opérations sur les dérivées (somme, produit, quotient)
1. Convexite d'une fonction
Une fonction f deux fois derivable sur un intervalle I est dite convexe sur I si f''(x) >= 0 pour tout x de I. géométriquement, la courbe representative de f est alors situee au-dessus de chacune de ses tangentes. Inversement, f est concave sur I si f''(x) <= 0 pour tout x de I, et la courbe est alors en dessous de ses tangentes. La convexite a une interpretation concrete : si on relie deux points de la courbe par un segment, ce segment est au-dessus de la courbe (fonction convexe) ou en dessous (fonction concave). Une fonction affine est a la fois convexe et concave. La fonction x^2 est convexe sur R car (x^2)'' = 2 > 0. La fonction ln est concave sur ]0,+infini[ car (ln x)'' = -1/x^2 < 0. La fonction e^x est convexe sur R car (e^x)'' = e^x > 0. La convexite est liee aux inégalités : si f est convexe, alors f((a+b)/2) <= (f(a)+f(b))/2 (inégalité de Jensen).
Méthode — déterminer la convexite d'une fonction
- Calculer f'(x) puis f''(x)
- étudier le signe de f''(x) sur l'intervalle considere
- f''(x) > 0 : f est convexe (courbe au-dessus des tangentes)
- f''(x) < 0 : f est concave (courbe en dessous des tangentes)
- f''(x) change de signe : chercher les points d'inflexion
Exemple : étudier la convexite de f(x) = x^3 - 3x sur R.
- Calculer f' et f'' : f'(x) = 3x^2 - 3. f''(x) = 6x.
- Signe de f'' : f''(x) = 6x. f''(x) < 0 si x < 0, f''(x) = 0 si x = 0, f''(x) > 0 si x > 0.
- Conclure : f est concave sur ]-infini, 0] et convexe sur [0, +infini[. Le point (0, f(0)) = (0, 0) est un point d'inflexion.
⚠️ Attention : Convexe ne signifie pas croissante ! f(x) = x^2 est convexe sur tout R mais décroissante sur ]-infini, 0]. La convexite concerne la courbure, pas le sens de variation.
2. dérivée seconde et points d'inflexion
La dérivée seconde f'' est la dérivée de f'. Elle mesure la vitesse de variation de la pente de la tangente a la courbe. Si f''(a) > 0, la pente de la tangente est croissante au voisinage de a. Si f''(a) < 0, elle est décroissante. Un point d'inflexion est un point ou la courbe traverse sa tangente, c'est-a-dire ou la convexite change. En un point d'inflexion a, on a necessairement f''(a) = 0, mais la reciproque est fausse : f''(a) = 0 ne suffit pas (exemple : f(x) = x^4, f''(0) = 0 mais pas d'inflexion). Il faut que f'' change de signe en a. Un point d'inflexion est aussi un extremum de f' : si f' admet un maximum local en a, alors f''(a) = 0 et f'' change de signe de + a -, ce qui correspond a un passage de convexe a concave. Le tableau de signes de f'' permet de déterminer les intervalles de convexite et les points d'inflexion.
Méthode — Trouver les points d'inflexion
- Calculer f''(x)
- résoudre f''(x) = 0 pour trouver les candidats
- vérifier que f'' change de signe en chaque candidat
- Calculer f(a) pour obtenir les coordonnees du point d'inflexion
- écrire l'équation de la tangente en ce point
Exemple : Trouver les points d'inflexion de f(x) = x^4 - 6x^2 + 1.
- Calculer f'' : f'(x) = 4x^3 - 12x. f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1).
- résoudre f'' = 0 : f''(x) = 0 <=> x = -1 ou x = 1.
- Signe de f'' : f''(x) > 0 si x < -1, f''(x) < 0 si -1 < x < 1, f''(x) > 0 si x > 1. f'' change de signe en -1 et 1.
- Coordonnees : f(-1) = 1 - 6 + 1 = -4. f(1) = 1 - 6 + 1 = -4.
⚠️ Attention : f''(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisant. Pour f(x) = x^4, f''(0) = 0 mais f'' = 12x^2 >= 0, elle ne change pas de signe : pas de point d'inflexion en 0.
3. dérivées de fonctions composées
La dérivation des fonctions composées etend considérablement les possibilites de calcul. Si u est une fonction derivable, on a les formules suivantes. La dérivée de u^n est n*u'*u^(n-1). La dérivée de 1/u est -u'/u^2. La dérivée de sqrt(u) est u'/(2*sqrt(u)). La dérivée de e^u est u'*e^u. La dérivée de ln(u) est u'/u. Plus généralement, la dérivée de f(g(x)) est g'(x)*f'(g(x)) : c'est la regle de la chaine. Un cas frequent est la dérivée de f(ax+b) : si g(x) = ax+b, alors (f(ax+b))' = a*f'(ax+b). Par exemple, (cos(3x+1))' = -3*sin(3x+1), (e^(2x))' = 2*e^(2x), (ln(5x-1))' = 5/(5x-1). Ces formules sont indispensables pour les études de fonctions et le calcul de primitives. Il faut toujours identifier u et u' avant d'appliquer la formule. La maitrise de ces dérivées est essentielle pour le BAC.
Méthode — dériver une fonction composée
- Identifier la fonction exterieure f et la fonction interieure u
- Calculer u'(x)
- Appliquer la formule : (f(u))' = u' * f'(u)
- Simplifier le résultat
- vérifier en cas de doute avec un cas simple
Exemple : Calculer la dérivée de f(x) = e^(x^2 - 3x).
- Identifier u : u(x) = x^2 - 3x, donc u'(x) = 2x - 3.
- Appliquer la formule : (e^u)' = u' * e^u
⚠️ Attention : Ne pas oublier de multiplier par u' ! L'erreur la plus frequente est d'écrire (e^(3x))' = e^(3x) au lieu de 3*e^(3x). Le facteur u' = 3 est indispensable.
4. Optimisation
L'optimisation consiste a trouver le maximum ou le minimum d'une fonction sur un intervalle. La méthode générale est : (1) modeliser le probleme par une fonction f définie sur un intervalle [a,b] ; (2) calculer f'(x) ; (3) trouver les valeurs de x ou f'(x) = 0 ; (4) étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation ; (5) comparer f aux bornes et aux extremums locaux pour déterminer l'extremum global. Sur un intervalle ferme [a,b], une fonction continue admet toujours un maximum et un minimum (théorème des bornes atteintes). L'extremum est atteint soit en une borne, soit en un point critique (f'(x) = 0). Les problemes d'optimisation apparaissent dans de nombreux contextes : maximiser une aire ou un volume sous contrainte, minimiser un cout, optimiser un trajet. Il faut souvent commencer par exprimer la quantite a optimiser en fonction d'une seule variable, en utilisant les contraintes du probleme.
Méthode — résoudre un probleme d'optimisation
- Identifier la grandeur a optimiser et la variable
- Exprimer cette grandeur en fonction d'une seule variable (utiliser les contraintes)
- déterminer le domaine de définition (intervalle)
- Calculer la dérivée et trouver les points critiques (f' = 0)
- Dresser le tableau de variation et conclure
- vérifier que c'est bien un maximum/minimum global
Exemple : On dispose de 100 m de cloture pour delimiter un enclos rectangulaire. Quelles dimensions maximisent l'aire ?
- Modeliser : Soit x la longueur et y la largeur. Perimetre : 2x + 2y = 100, donc y = 50 - x. Aire : A(x) = x*(50-x) = 50x - x^2.
- Domaine : x > 0 et y > 0, donc 0 < x < 50.
- dériver : A'(x) = 50 - 2x. A'(x) = 0 <=> x = 25.
- Tableau de variation : A'(x) > 0 si x < 25, A'(x) < 0 si x > 25. Maximum en x = 25.
- Conclure :
⚠️ Attention : Ne pas oublier de vérifier que l'extremum est global et pas seulement local. Sur un intervalle ouvert, il faut aussi étudier le comportement aux bornes.
5. étude de fonction complete
L'étude complete d'une fonction f suit une methodologie rigoureuse en plusieurs étapes. (1) Ensemble de définition Df : déterminer ou f est définie (dénominateur non nul, argument de ln > 0, racine d'un nombre positif). (2) parité et periodicite : si f(-x) = f(x), f est paire (symétrie/Oy) ; si f(-x) = -f(x), f est impaire (symétrie/O). (3) Limites aux bornes de Df : calculer les limites en +infini, -infini, et aux bornes finies pour déterminer les asymptotes (horizontale si lim = L, verticale si lim = infini, oblique si lim f(x)/x = a et lim f(x)-ax = b). (4) dérivée f'(x) : calculer, factoriser si possible, étudier le signe. (5) Tableau de variation complet : signe de f', variations, valeurs aux extremums. (6) Convexite : calculer f'', déterminer les intervalles de convexite/concavite et les points d'inflexion. (7) Tracer la courbe en placant les points remarquables, tangentes, et asymptotes. Cette methodologie est la base de nombreux exercices du BAC.
Méthode — Mener une étude de fonction complete
- déterminer l'ensemble de définition Df
- étudier la parité (f(-x) = f(x) ou -f(x) ?)
- Calculer les limites aux bornes de Df (asymptotes)
- Calculer f'(x), résoudre f'(x) = 0, signe de f'
- Dresser le tableau de variation
- Calculer f''(x), points d'inflexion, convexite
- Tracer la courbe
Exemple : étude complete de f(x) = x + 1/x sur ]0, +infini[.
- Domaine et limites : Df = ]0, +infini[. lim(x->0+) f(x) = +infini (asymptote verticale x=0). lim(x->+infini) f(x) = +infini.
- dérivée : f'(x) = 1 - 1/x^2 = (x^2-1)/x^2.
- Signe et variations : f'(x) = 0 <=> x = 1. f'(x) < 0 si 0 < x < 1, f'(x) > 0 si x > 1. Minimum en x = 1 : f(1) = 2.
- Convexite : f''(x) = 2/x^3 > 0 sur ]0, +infini[ : f est convexe.
- asymptote oblique : f(x) - x = 1/x -> 0 en +infini, donc y = x est asymptote oblique.
⚠️ Attention : Ne pas oublier l'asymptote oblique ! Si lim f(x) = +infini, ce n'est pas forcement qu'il n'y a pas d'asymptote : il faut vérifier si lim f(x)/x existe (asymptote oblique si oui).
Conclusion
Les complements sur la dérivation permettent de mener des études de fonctions approfondies. La convexite (signe de f''), les points d'inflexion, la dérivation de fonctions composées et l'optimisation sont des outils fondamentaux pour le BAC. La methodologie d'étude complete de fonction (domaine, limites, dérivée, variations, convexite, courbe) est un exercice classique et frequemment pose.
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