Fonction logarithme népérien

Le logarithme népérien est défini sur l'intervalle ]0, +infini[. Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l'unique réel y tel que e^y = x. Autrement dit, y = ln(x) equivaut a x = e^y. Cette définition traduit le fait que ln est la fonction reciproque de la fonction exponentielle. Les valeurs remarquables sont ln(1) = 0 (car e^0 = 1) et ln(e) = 1 (car e^1 = e). La propriété fondamentale du logarithme est la transformation des produits en sommes : pour tous réels strictement positifs a et b, ln(ab) = ln(a) + ln(b). De cette propriété decoulent toutes les autres regles de calcul. Le logarithme d'un quotient donne ln(a/b) = ln(a) - ln(b). Pour une puissance entière ou rationnelle, ln(a^n) = n * ln(a), ce qui permet par exemple d'écrire ln(1/a) = ln(a^(-1)) = -ln(a) et ln(sqrt(a)) = ln(a^(1/2)) = ln(a)/2. Ces propriétés algébriques sont les outils centraux pour simplifier des expressions logarithmiques et résoudre des équations. Il est essentiel de retenir que le logarithme n'est défini que pour des arguments strictement positifs : ln(x) n'existe pas pour x inférieur ou égal a zero.

La fonction logarithme népérien f(x) = ln(x) est définie et derivable sur ]0, +infini[. Sa dérivée est f'(x) = 1/x. Puisque 1/x > 0 pour tout x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur son ensemble de définition. Cela signifie que si 0 < a < b, alors ln(a) < ln(b) : le logarithme conserve l'ordre. Le tableau de variation montre que ln est une fonction continue strictement croissante de -infini (en 0+) a +infini. Le signe de ln(x) est fondamental : ln(x) < 0 pour 0 < x < 1, ln(1) = 0, et ln(x) > 0 pour x > 1. La courbe representative de ln est situee en dessous de l'axe des abscisses pour x dans ]0, 1[ et au-dessus pour x > 1. La courbe passe par les points (1, 0) et (e, 1). Elle est concave sur tout son domaine car la dérivée seconde vaut f''(x) = -1/x^2 < 0. L'équation de la tangente au point d'abscisse x = 1 est y = x - 1, car f(1) = 0 et f'(1) = 1. Cette tangente est une droite de pente 1 passant par (1, 0). La courbe de ln est la symetrique de la courbe de exp par rapport a la droite y = x, consequence directe du fait que ln et exp sont des fonctions reciproques.

Les limites fondamentales du logarithme népérien sont : lim(x -> 0+) ln(x) = -infini et lim(x -> +infini) ln(x) = +infini. La fonction ln tend vers -infini en 0 a droite (la courbe descend indéfiniment pres de l'axe des ordonnees, qui est asymptote verticale) et vers +infini en +infini (mais tres lentement). Les croissances comparées expriment que le logarithme croit beaucoup plus lentement que toute puissance de x. Les deux résultats fondamentaux sont : lim(x -> +infini) ln(x)/x = 0, ce qui signifie qu'en +infini, x l'emporte sur ln(x) ; et lim(x -> 0+) x * ln(x) = 0, ce qui signifie qu'en 0+, x l'emporte sur ln(x) et le produit tend vers 0. Plus généralement, pour tout entier n >= 1 : lim(x -> +infini) ln(x)/x^n = 0 et lim(x -> 0+) x^n * ln(x) = 0. Ces résultats sont essentiels pour lever des formes indeterminees du type infini/infini ou 0 * (-infini). En pratique, face a un conflit entre un logarithme et une puissance dans une limite, la puissance gagne toujours. Ce principe est le coeur des croissances comparées et constitue un outil incontournable au BAC pour le calcul de limites.

La résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques repose sur deux principes essentiels : la bijectivite de ln (si ln(a) = ln(b) alors a = b, pour a > 0 et b > 0) et la croissance stricte de ln (si ln(a) < ln(b) alors a < b, pour a > 0 et b > 0). Pour résoudre ln(f(x)) = a, on ecrit f(x) = e^a, a condition que f(x) > 0 (condition d'existence). Pour résoudre ln(f(x)) = ln(g(x)), on ecrit f(x) = g(x) avec les conditions f(x) > 0 et g(x) > 0. Pour les inéquations, ln(f(x)) > a equivaut a f(x) > e^a (car ln est croissante), et ln(f(x)) > ln(g(x)) equivaut a f(x) > g(x), toujours sous les conditions d'existence f(x) > 0 et g(x) > 0. La première étape de toute résolution est TOUJOURS de déterminer le domaine de définition, c'est-a-dire les valeurs de x pour lesquelles les arguments des logarithmes sont strictement positifs. Oublier cette étape est une erreur grave qui fait perdre des points au BAC. Le changement de variable est parfois utile : en posant X = ln(x), certaines équations se ramenent a des équations polynomiales classiques. Par exemple, (ln(x))^2 - 3*ln(x) + 2 = 0 devient X^2 - 3X + 2 = 0 dont les solutions sont X = 1 et X = 2, d'ou x = e et x = e^2.

Lorsqu'on composé la fonction ln avec une fonction u derivable et strictement positive, la dérivée de la fonction composée f(x) = ln(u(x)) est donnee par la formule f'(x) = u'(x)/u(x). Cette formule est fondamentale pour l'étude de fonctions contenant un logarithme. Elle se deduit directement de la regle de dérivation des fonctions composées appliquee a ln. En pratique, pour dériver ln(u(x)), on derive l'argument u(x) et on divise par u(x). Par exemple, si f(x) = ln(x^2 + 1), alors u(x) = x^2+1, u'(x) = 2x, et f'(x) = 2x/(x^2+1). La dérivée logarithmique est un outil puissant : pour étudier le signe de f'(x) = u'(x)/u(x), il suffit d'étudier le signe de u'(x) puisque u(x) > 0 par hypothèse. L'étude complete d'une fonction avec ln suit le schema classique : domaine de définition (argument > 0), calcul de la dérivée avec la formule u'/u, signe de la dérivée, tableau de variation, limites aux bornes du domaine (en utilisant eventuellement les croissances comparées), et trace de la courbe. Des fonctions classiques comme x*ln(x), ln(x)/x ou ln(x^2+1) sont des exercices types du BAC. La formule (ln(u))' = u'/u permet aussi de reconnaitre des primitives : si une fraction a pour numerateur la dérivée du dénominateur, sa primitive est le logarithme du dénominateur.