Cours complet : Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, définies a partir du cercle trigonométrique, sont des fonctions periodiques fondamentales en mathématiques et en sciences. En Terminale, on approfondit leur étude : dérivées, variations, periodicite, parité, et résolution d'équations trigonométriques. La fonction cosinus est paire et de periode 2*pi, la fonction sinus est impaire et de periode 2*pi. Leurs dérivées sont remarquables : (cos x)' = -sin x et (sin x)' = cos x. On étudie aussi la fonction tangente tan x = sin x / cos x et les formules d'addition et de duplication qui permettent de simplifier les expressions trigonométriques. Ces fonctions modelisent de nombreux phenomenes periodiques : oscillations, ondes, courant alternatif.
Prérequis
- Cercle trigonométrique : définition de cos et sin sur le cercle unite
- Valeurs remarquables de cos et sin pour 0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2, pi
- Relation fondamentale : cos^2(x) + sin^2(x) = 1
- Notion de radian et conversion degres-radians
- dérivation des fonctions usuelles
1. Rappels et complements trigonométriques
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repere orthonorme. A tout réel x, on associée un unique point M sur ce cercle, et cos(x) est l'abscisse de M, sin(x) est l'ordonnee de M. Les valeurs remarquables a connaitre par coeur sont : cos(0) = 1, sin(0) = 0 ; cos(pi/6) = sqrt(3)/2, sin(pi/6) = 1/2 ; cos(pi/4) = sqrt(2)/2, sin(pi/4) = sqrt(2)/2 ; cos(pi/3) = 1/2, sin(pi/3) = sqrt(3)/2 ; cos(pi/2) = 0, sin(pi/2) = 1 ; cos(pi) = -1, sin(pi) = 0. Les formules d'addition sont cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) et sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Les formules de duplication s'en deduisent : cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a) et sin(2a) = 2sin(a)cos(a). Ces formules sont essentielles pour transformer et simplifier des expressions trigonométriques.
Méthode — Retrouver une valeur remarquable
- Placer l'angle sur le cercle trigonométrique
- Identifier le quadrant (signe de cos et sin)
- Utiliser la symétrie si nécessaire : cos(pi-x) = -cos(x), sin(pi-x) = sin(x)
- Lire l'abscisse (cos) et l'ordonnee (sin)
Exemple : Calculer cos(7*pi/12) en utilisant les formules d'addition.
- Decomposér l'angle : 7*pi/12 = pi/3 + pi/4 (car 4*pi/12 + 3*pi/12 = 7*pi/12).
- Appliquer cos(a+b) :
⚠️ Attention : Les formules d'addition ont des signes differents pour cos et sin : cos(a+b) utilise un MOINS entre les deux termes, sin(a+b) utilise un PLUS. Ne pas les confondre !
2. La fonction cosinus
La fonction cosinus est définie sur R, a valeurs dans [-1, 1]. Elle est periodique de periode 2*pi : cos(x + 2*pi) = cos(x) pour tout x. Elle est paire : cos(-x) = cos(x) pour tout x, ce qui signifie que sa courbe est symetrique par rapport a l'axe des ordonnees. Sa dérivée est (cos x)' = -sin x. Sur [0, pi], cos est strictement décroissante de 1 a -1. Sur [pi, 2*pi], cos est strictement croissante de -1 a 1. Les zeros de cos sont x = pi/2 + k*pi pour k entier. Les maximums (valeur 1) sont atteints en x = 2k*pi et les minimums (valeur -1) en x = (2k+1)*pi. La courbe de cos, appelee sinusoide, presente une forme d'onde régulière. La fonction cos est liee a sin par la relation cos(x) = sin(x + pi/2) : le cosinus est le sinus deplace d'un quart de periode. La dérivée seconde est cos''(x) = -cos(x), ce qui fait du cosinus une solution de l'équation différentielle y'' + y = 0.
Méthode — étudier la fonction cosinus sur une periode
- Utiliser la parité (cos est paire) pour se limiter a [0, 2*pi] ou meme [0, pi] par symétrie
- Calculer (cos x)' = -sin x
- Sur [0, pi] : sin x >= 0, donc (cos x)' <= 0 : cos est décroissante
- Sur [pi, 2*pi] : sin x <= 0, donc (cos x)' >= 0 : cos est croissante
- Dresser le tableau de variation
Exemple : Dresser le tableau de variation de cos sur [0, 2*pi].
- dérivée : (cos x)' = -sin x.
- Signe sur [0, pi] : sin x >= 0 sur [0, pi], donc -sin x <= 0. cos est décroissante.
- Signe sur [pi, 2*pi] : sin x <= 0 sur [pi, 2*pi], donc -sin x >= 0. cos est croissante.
- Valeurs : cos(0) = 1, cos(pi) = -1, cos(2*pi) = 1. Minimum -1 en pi, maximum 1 en 0 et 2*pi.
⚠️ Attention : La dérivée de cos est -sin (avec le signe moins). Ne pas oublier ce signe negatif qui inverse le sens de variation attendu.
3. La fonction sinus
La fonction sinus est définie sur R, a valeurs dans [-1, 1]. Elle est periodique de periode 2*pi : sin(x + 2*pi) = sin(x). Elle est impaire : sin(-x) = -sin(x), ce qui signifie que sa courbe est symetrique par rapport a l'origine O. Sa dérivée est (sin x)' = cos x. Sur [-pi/2, pi/2], sin est strictement croissante de -1 a 1. Sur [pi/2, 3*pi/2], sin est strictement décroissante de 1 a -1. Les zeros de sin sont x = k*pi pour k entier. Les maximums (valeur 1) sont atteints en x = pi/2 + 2k*pi et les minimums (valeur -1) en x = -pi/2 + 2k*pi. La courbe de sin est une sinusoide identique a celle de cos, mais decalee de pi/2 vers la droite : sin(x) = cos(x - pi/2). La dérivée seconde est sin''(x) = -sin(x), donc sin est aussi solution de y'' + y = 0. L'étude se fait sur une periode [0, 2*pi] ou par symétrie sur [-pi, pi] grace a l'imparite.
Méthode — étudier la fonction sinus sur une periode
- Utiliser l'imparite (sin est impaire) pour se limiter a [0, pi] puis completer par symétrie
- Calculer (sin x)' = cos x
- Sur [0, pi/2] : cos x >= 0, donc sin est croissante
- Sur [pi/2, pi] : cos x <= 0, donc sin est décroissante
- Completer sur [-pi, 0] par imparite : sin croit sur [-pi, -pi/2] et decroit sur [-pi/2, 0]... Non. Utiliser sin(-x)=-sin(x) pour deduire les variations.
Exemple : Dresser le tableau de variation de sin sur [0, 2*pi].
- dérivée : (sin x)' = cos x.
- Signe sur [0, pi/2] : cos x >= 0, donc sin est croissante. sin(0) = 0, sin(pi/2) = 1.
- Signe sur [pi/2, 3*pi/2] : cos x <= 0 sur [pi/2, pi] et cos x <= 0 sur [pi, 3*pi/2]. sin est décroissante. sin(pi) = 0, sin(3*pi/2) = -1.
- Signe sur [3*pi/2, 2*pi] : cos x >= 0, sin est croissante. sin(2*pi) = 0.
⚠️ Attention : sin est impaire (sin(-x) = -sin(x)), cos est paire (cos(-x) = cos(x)). Ne pas les confondre ! L'imparite de sin signifie symétrie par rapport a O, pas par rapport a Oy.
4. équations trigonométriques
La résolution d'équations trigonométriques repose sur les propriétés de cos et sin sur le cercle trigonométrique. Pour cos(x) = cos(a), les solutions sont x = a + 2k*pi ou x = -a + 2k*pi, avec k entier relatif. Pour sin(x) = sin(a), les solutions sont x = a + 2k*pi ou x = pi - a + 2k*pi. Pour sin(x) = 0, x = k*pi. Pour cos(x) = 0, x = pi/2 + k*pi. Pour les équations du type a*cos(x) + b*sin(x) = c, on peut utiliser la méthode de combinaison linéaire : écrire sous la forme R*cos(x - phi) avec R = sqrt(a^2 + b^2) et tan(phi) = b/a. Les inéquations se résolvent graphiquement sur le cercle trigonométrique ou avec le tableau de variation. Sur un intervalle donne [alpha, beta], on selectionne les solutions parmi l'ensemble général en choisissant les bonnes valeurs de k. La résolution graphique sur le cercle trigonométrique est souvent la méthode la plus claire pour eviter les erreurs.
Méthode — résoudre une équation trigonométrique
- Ramener l'équation a la forme cos(X) = cos(A) ou sin(X) = sin(A)
- écrire les deux familles de solutions : X = A + 2k*pi ou X = -A + 2k*pi (pour cos)
- Si X = f(x), résoudre pour x dans chaque cas
- Selectionner les solutions dans l'intervalle demande en testant les valeurs de k
Exemple : résoudre cos(2x) = cos(pi/3) sur [0, 2*pi].
- Appliquer la formule : cos(2x) = cos(pi/3) <=> 2x = pi/3 + 2k*pi ou 2x = -pi/3 + 2k*pi.
- résoudre pour x : x = pi/6 + k*pi ou x = -pi/6 + k*pi.
- Selectionner sur [0, 2*pi] : Pour x = pi/6 + k*pi : k=0 donne pi/6, k=1 donne 7*pi/6. Pour x = -pi/6 + k*pi : k=0 donne -pi/6 (hors intervalle), k=1 donne 5*pi/6, k=2 donne 11*pi/6.
⚠️ Attention : Pour cos(x) = cos(a), il y a DEUX familles de solutions (x = a + 2k*pi ET x = -a + 2k*pi). Oublier une famille est l'erreur la plus courante. De meme pour sin.
5. dérivation des fonctions trigonométriques composées et fonction tangente
La dérivation des fonctions trigonométriques composées utilise la regle de la chaine. La dérivée de cos(u) est -u' * sin(u). La dérivée de sin(u) est u' * cos(u). Par exemple, (cos(3x+1))' = -3*sin(3x+1), (sin(x^2))' = 2x*cos(x^2). La fonction tangente est définie par tan(x) = sin(x)/cos(x), pour x different de pi/2 + k*pi. Elle est periodique de periode pi (pas 2*pi !), impaire, et strictement croissante sur chaque intervalle de définition. Sa dérivée est (tan x)' = 1/cos^2(x) = 1 + tan^2(x). La tangente prend toutes les valeurs réelles (pas de borne). Elle a des asymptotes verticales en x = pi/2 + k*pi. Les fonctions du type f(x) = a*cos(bx + c) + d modelisent des signaux periodiques : a est l'amplitude, T = 2*pi/b est la periode, c est la phase et d est le decalage vertical. Ces fonctions sont fondamentales en physique pour l'étude des ondes et oscillations.
Méthode — étudier une fonction du type f(x) = a*cos(bx + c) + d
- Identifier l'amplitude |a|, la periode T = 2*pi/|b|, la phase c/b et le decalage d
- Le maximum est d + |a|, le minimum est d - |a|
- Calculer f'(x) = -a*b*sin(bx + c)
- Les zeros de f' donnent les extremums
- Tracer la courbe en placant les extremums et zeros
Exemple : Calculer la dérivée de f(x) = sin(3x)*cos(x).
- dérivée d'un produit : f'(x) = (sin(3x))' * cos(x) + sin(3x) * (cos(x))'.
- dérivées composées : (sin(3x))' = 3*cos(3x). (cos(x))' = -sin(x).
- Simplifier (optionnel) : Par la formule d'addition : cos(3x)cos(x) - sin(3x)sin(x) = cos(3x+x) = cos(4x). Mais f' = 3cos(3x)cos(x) - sin(3x)sin(x), pas exactement cos(4x).
⚠️ Attention : La tangente a une periode de pi, pas 2*pi ! Et (cos u)' = -u'*sin(u), ne pas oublier le signe negatif.
Conclusion
Les fonctions trigonométriques cos, sin et tan sont des fonctions periodiques dont l'étude repose sur la connaissance des valeurs remarquables, des dérivées ((cos)' = -sin, (sin)' = cos, (tan)' = 1/cos^2) et des formules d'addition. La résolution d'équations trigonométriques utilise les symetries du cercle trigonométrique. Ces fonctions sont omnipresentes en physique et modelisent les phenomenes periodiques.
Mots-clés