Succession d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli

Une epreuve de Bernoulli est une experience aléatoire qui n'admet que deux issues possibles, mutuellement exclusives : le succes (note S) avec une probabilité p, et l'echec (note E) avec une probabilité q = 1 - p. Le parametre p est compris entre 0 et 1 (0 < p < 1 dans les cas non triviaux). On associée a cette epreuve une variable aléatoire X, appelee variable de Bernoulli de parametre p, qui prend la valeur 1 en cas de succes et 0 en cas d'echec. La loi de probabilité de X est donc : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p = q. L'esperance de X vaut E(X) = 0 * q + 1 * p = p. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de répétitions, la proportion de succes tend vers p. La variance de X est V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p) = pq. L'ecart-type est sigma(X) =$sqrt{pq}$. La variance est maximale quand p = 0.5 (incertitude maximale) et nulle quand p = 0 ou p = 1 (certitude). Par exemple, lancer une piece equilibree est une epreuve de Bernoulli avec p = 0.5 pour 'obtenir Face'. Tester si une piece defectueuse sort d'une chaine de production avec un taux de defaut de 3% est une epreuve de Bernoulli avec p = 0.03.

Un schema de Bernoulli consiste a repeter n fois de maniere independante une meme epreuve de Bernoulli de parametre p. Les conditions essentielles sont : (1) chaque epreuve est identique (meme probabilité p de succes), (2) les epreuves sont mutuellement indépendantes (le résultat d'une epreuve n'influence pas les autres), (3) le nombre n de répétitions est fixe a l'avance. On represente un schema de Bernoulli par un arbre pondere de probabilité. A chaque étape, l'arbre se divise en deux branches : une branche S (probabilité p) et une branche E (probabilité q = 1 - p). Apres n étapes, l'arbre possede 2^n chemins (feuilles). Chaque chemin correspond a une suite ordonnee de succes et d'echecs. La probabilité d'un chemin particulier comportant exactement k succes et (n - k) echecs est p^k * q^(n-k), car les epreuves sont indépendantes (on multiplie les probabilités le long du chemin). Le nombre de chemins comportant exactement k succes parmi n epreuves est le coefficient binomial C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). En effet, il s'agit de choisir les k positions des succes parmi les n epreuves. Par exemple, pour n = 3 et k = 2, les chemins sont SSE, SES, ESS, soit C(3,2) = 3 chemins. Le modele du schema de Bernoulli s'applique par exemple au lancer repete d'une piece, aux tirages avec remise, aux tests industriels sur des lots de grande taille (ou le prelevement n'affecte pas sensiblement les proportions).

On considere un schema de Bernoulli de parametres n et p, et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de succes obtenus. Alors X suit la loi binomiale de parametres n et p, notee X ~ B(n,p). La variable X prend ses valeurs dans {0, 1, 2, ..., n}. La probabilité que X prenne la valeur k est donnee par la formule : P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) pour tout entier k tel que 0 <= k <= n. Cette formule se decomposé ainsi : C(n,k) est le nombre de chemins contenant exactement k succes, p^k est la probabilité associée aux k succes, et (1-p)^(n-k) est la probabilité associée aux (n-k) echecs. L'esperance de X est E(X) = np. Elle represente le nombre moyen de succes attendu. La variance est V(X) = np(1-p) = npq, et l'ecart-type est sigma(X) =$sqrt{npq}$. La loi binomiale est unimodale : elle admet un maximum autour de la valeur k proche de (n+1)p. Le tableau de la loi donne les valeurs P(X = k) pour chaque k de 0 a n. La représentation graphique de la loi binomiale est un diagramme en batons (les valeurs de k en abscisse, les probabilités en ordonnee). Pour p = 0.5, la distribution est symetrique. Pour p < 0.5, elle est asymetrique a droite. Pour p > 0.5, elle est asymetrique a gauche. Quand n est grand et p ni trop petit ni trop grand, la loi binomiale s'approche d'une loi normale de parametres np et npq (théorème de Moivre-Laplace).

Pour les lois binomiales avec de grandes valeurs de n, le calcul a la main devient fastidieux. Les calculatrices TI et Casio disposent de fonctions integrees pour la loi binomiale. Sur TI (TI-83/84) : la fonction binomPdf(n, p, k) (dans le menu 2nd > DISTR > binompdf) calcule la probabilité exacte P(X = k). La fonction binomCdf(n, p, k) (dans le menu 2nd > DISTR > binomcdf) calcule la probabilité cumulee P(X <= k). Sur Casio (Graph 35+ et suivantes) : dans le menu STAT > DIST > BINM, la fonction Bpd calcule P(X = k) et la fonction Bcd calcule P(X <= k). On saisit les parametres x (valeur de k), Numtrial (n) et p. Pour calculer les probabilités composées : P(X >= k) = 1 - P(X <= k-1) = 1 - binomCdf(n, p, k-1). P(X < k) = P(X <= k-1) = binomCdf(n, p, k-1). P(a <= X <= b) = P(X <= b) - P(X <= a-1) = binomCdf(n, p, b) - binomCdf(n, p, a-1). Pour dresser le tableau complet de la loi, on peut utiliser binomPdf(n, p) sans specifier k (sur TI), ce qui donne la liste de toutes les probabilités. Il est aussi possible d'utiliser un tableur ou Python avec la bibliotheque scipy.stats pour des calculs plus avances.

La loi binomiale permet de prendre des decisions statistiques en comparant une frequence observee a une frequence theorique. On définit l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour la loi B(n, p) comme le plus petit intervalle [a/n, b/n] tel que P(a <= X <= b) >= 0.95. En pratique, on determine a comme le plus petit entier tel que P(X <= a) > 0.025, et b comme le plus petit entier tel que P(X <= b) >= 0.975. L'intervalle de fluctuation est alors [a/n, b/n]. Pour un test d'hypothèse au seuil de 5%, on procede ainsi : on formule l'hypothèse nulle H0 (par exemple, p = p0). On realise n epreuves et on observe une frequence $f = k/n $. Si f appartient a l'intervalle de fluctuation [a/n, b/n] calcule sous H0, on ne rejette pas H0. Si f n'appartient pas a cet intervalle (f < a/n ou f > b/n), on rejette H0 au seuil de 5%. La zone de rejet correspond aux valeurs de f exterieures a l'intervalle de fluctuation. Le seuil de 5% signifie qu'on accepte un risque de 5% de rejeter H0 alors qu'elle est vraie (erreur de première espece). Ce type de raisonnement est fondamental en sciences experimentales et en controle qualite. Il permet de decider si un ecart observe est significatif ou simplement du au hasard de l'echantillonnage.