Sujets de Grand Oral en maths 2027 : 30 questions avec problématique et plan

I. Le modèle exponentiel : le début d'une épidémie 3 min 30

• Une croissance géométrique de génération en génération
• Les limites du modèle exponentiel

II. Le modèle logistique : la courbe en S 3 min 30

• L'équation logistique
• Ce que le modèle apporte aux décideurs

III. Les limites de la modélisation 3 min

• Des modèles plus fins
• Un outil d'aide à la décision, pas une prédiction certaine

I. Les fondements arithmétiques de RSA 4 min

• Une asymétrie : multiplier est facile, factoriser est difficile
• Le mécanisme de RSA

II. Le protocole RSA en pratique 3 min

• Clé publique et clé privée
• Applications concrètes

III. Limites et avenir de RSA 3 min

• La course à la factorisation
• La cryptographie post-quantique

I. Modéliser le problème de couverture 3 min 30

• Chaque antenne couvre un disque
• Le réseau hexagonal, meilleur recouvrement du plan

II. Optimiser sous contraintes 3 min 30

• Un problème d'optimisation discrète
• Le relief : de la géométrie plane à l'espace

III. Applications et enjeux 3 min

• L'égalité entre territoires
• La 5G et au-delà

I. Le problème des faux positifs 3 min 30

• Sensibilité et spécificité d'un test
• L'intuition nous trompe

II. La formule de Bayes comme outil de raisonnement 3 min 30

• Inverser le conditionnement
• L'arbre pondéré et la formule des probabilités totales

III. Conséquences pour la santé publique 3 min

• Dépister tout le monde ou des populations ciblées ?
• Mieux communiquer les résultats

I. La suite de Fibonacci et le nombre d'or 3 min

• Définition et propriétés
• Une formule explicite et une spirale

II. Fibonacci dans le vivant 4 min

• La phyllotaxie : la disposition des feuilles et des graines
• Le nautile : un contre-exemple célèbre

III. Comment expliquer ces régularités ? 3 min

• Un mécanisme de croissance, pas un choix
• Les mathématiques comme langage de la nature, avec prudence

I. Le filtrage collaboratif : mesurer des ressemblances 3 min 30

• Le tableau utilisateurs × contenus
• Le produit scalaire comme mesure de proximité

II. La factorisation matricielle 3 min 30

• Des goûts résumés par quelques nombres
• Apprendre par descente de gradient

III. Enjeux et limites 3 min

• L'enfermement dans ses goûts
• Données personnelles et règles

I. Modéliser les coûts par une fonction 3 min

• Coût total, coût moyen, coût marginal

II. Optimiser grâce à la dérivée 4 min

• Le minimum du coût moyen
• Maximiser le profit

III. Limites et applications réelles 3 min

• Au-delà du modèle simple
• L'optimisation dans l'économie réelle

I. De la vitesse à la distance : l'idée de l'intégrale 4 min

• De d = v × t aux sommes de rectangles
• Le lien entre dérivée et intégrale

II. Applications concrètes 3 min

• Enregistrer la vitesse pour connaître la distance
• De l'accélération à la position

III. Calcul numérique et limites 3 min

• Les méthodes numériques d'intégration
• La dérive des erreurs

I. Le principe de l'échantillonnage 3 min 30

• De la population à l'échantillon
• Mesurer la précision avec le programme de Terminale

II. La marge d'erreur annoncée par les instituts 3 min 30

• L'approximation par la loi normale (hors programme)
• Le théorème central limite

III. Les limites des sondages 3 min

• Des biais que les formules ne voient pas
• Encadrer et bien lire les sondages

I. La décroissance radioactive : un phénomène exponentiel 4 min

• Le modèle
• Résoudre l'équation différentielle

II. De la mesure à la datation 3 min

• Mesurer la proportion restante
• Des calculs simples

III. Limites et calibration 3 min

• Les sources d'erreur
• La calibration

I. Calculer ses chances 3 min

• Dénombrer les mains et les cartes utiles

II. L'espérance mathématique : la boussole du joueur 4 min

• L'espérance d'une décision
• Le long terme et la loi des grands nombres

III. Information incomplète et théorie des jeux 3 min

• La formule de Bayes à la table
• Équilibre de Nash et programmes informatiques

I. Convexité : définition et propriétés clés 3 min

• Fonction convexe et minimum

II. La descente de gradient sur une fonction convexe 4 min

• L'algorithme de descente de gradient
• Application à l'apprentissage automatique

III. Quand la convexité manque : l'apprentissage profond 3 min

• Les réseaux de neurones : une perte non convexe
• La recherche continue

I. L'oreille humaine perçoit les rapports 3 min

• La loi de Weber-Fechner

II. La construction de l'échelle des décibels 4 min

• La définition du décibel
• Exemples concrets

III. Les échelles logarithmiques ailleurs 3 min

• Au-delà du son
• Pourquoi toujours le logarithme ?

I. Modéliser le capital restant dû 4 min

• La relation de récurrence du crédit
• Une formule explicite

II. Comprendre le coût d'un crédit 3 min

• Coût des intérêts = N × M − C₀
• Intérêts et capital dans chaque mensualité

III. Un outil d'aide à la décision 3 min

• Comparer des offres
• Une éducation financière utile

I. Le principe de la trilatération 3 min 30

• Un satellite, une sphère de positions possibles
• Pourquoi un quatrième satellite ?

II. La géométrie dans l'espace en action 3 min 30

• De deux sphères à un plan
• Résoudre le système

III. Précision et sources d'erreur 3 min

• Les corrections nécessaires
• Précision et autres systèmes

I. Modéliser un réseau par un graphe 2 min 30

• Sommets, arêtes, poids

II. L'algorithme de Dijkstra 4 min

• Le principe glouton
• Les calculateurs d'itinéraires

III. Extensions et enjeux 3 min 30

• Le problème du voyageur de commerce
• Logistique et environnement

I. Les différents modes de scrutin 3 min 30

• Scrutin majoritaire, Borda, Condorcet
• Le paradoxe de Condorcet

II. Le théorème d'Arrow (1951) 3 min 30

• Des conditions qui semblent raisonnables
• L'impossibilité

III. Choisir une règle, c'est choisir des priorités 3 min

• Évaluer plutôt que classer
• Les mathématiques éclairent le débat

I. Le neurone artificiel : une fonction mathématique 3 min

• Du neurone biologique au neurone formel

II. Apprendre, c'est minimiser une erreur 4 min

• La fonction de perte
• La rétropropagation : dériver pour apprendre

III. Applications et enjeux 3 min

• Des usages très variés
• Questions éthiques

I. Compter les opérations : la notion de complexité 3 min 30

• Mesurer le coût d'un algorithme
• Le tri par sélection : un algorithme quadratique

II. Le tri rapide : diviser pour régner 4 min

• Le principe de partition
• Combien de comparaisons ?

III. D'autres tris pour d'autres usages 2 min 30

• Le tri fusion : n·log(n) garanti
• Une borne inférieure démontrée

I. Modéliser un sondage par une loi binomiale 3 min 30

• Le sondage comme schéma de Bernoulli
• Espérance et variance de la fréquence

II. Du discret au continu : le théorème central limite (hors programme) 3 min 30

• L'approximation par la loi normale
• L'intervalle de confiance à 95 %

III. Les limites mathématiques et démocratiques 3 min

• Ce que la théorie ne capture pas
• Pourquoi 1 000 suffit-il ?

I. Construire une fractale par récurrence 3 min 30

• Le flocon de Koch : périmètre infini, aire finie
• Autosimilarité et dimension

II. Des formes fractales dans la nature 3 min

• De grandes surfaces d'échange dans un petit volume
• D'autres exemples

III. Des mathématiques à l'imagerie 3 min 30

• L'ensemble de Mandelbrot
• Applications

I. Donner un cadre formel au hasard 3 min 30

• Des jeux de hasard aux axiomes de Kolmogorov
• Conditionnement et indépendance

II. La loi des grands nombres : de l'ordre dans le hasard 3 min

• La régularité statistique
• La loi normale (hors programme)

III. Les limites du calcul des probabilités 3 min 30

• Hasard et déterminisme
• La probabilité comme degré de croyance

I. Le web comme un graphe orienté 3 min 30

• Modéliser les liens entre pages
• L'idée de Larry Page et Sergey Brin (Stanford, 1998)

II. Résoudre par itération : une suite convergente 3 min

• L'algorithme itératif
• Une interprétation probabiliste

III. Enjeux et héritage 3 min

• Un jeu du chat et de la souris
• D'autres usages de l'idée

I. π, né de la géométrie 3 min

• La définition par le cercle
• Aires et volumes

II. π en analyse 3 min 30

• Des formules remarquables
• Irrationnel et transcendant

III. π là où on ne l'attend pas 3 min 30

• En probabilités : l'aiguille de Buffon
• En physique et en statistique

I. Modéliser une population isolée 3 min 30

• Le modèle de Malthus : croissance exponentielle
• Le modèle logistique de Verhulst (1838)

II. Le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra 3 min 30

• Un système de deux équations couplées
• Des cycles

III. Du modèle à la gestion des écosystèmes 3 min

• Validation et limites
• Applications actuelles

I. Les paradoxes des fondements 3 min

• Le paradoxe de Russell (1901)
• La réponse axiomatique : ZFC

II. Les théorèmes d'incomplétude de Gödel (1931) 4 min

• Premier théorème : des énoncés indécidables
• Second théorème : la cohérence hors d'atteinte

III. Vivre avec les paradoxes : une discipline solide 3 min

• Le paradoxe de Banach-Tarski (1924)
• Pourquoi cela ne menace pas les mathématiques

I. Des temps de trajet aux équations 3 min 30

• Le principe de la trilatération
• Mesurer une distance avec une horloge

II. Résoudre par approximations successives 3 min 30

• Un système non linéaire
• Le produit scalaire pour juger un satellite

III. Les corrections fines et les autres systèmes 2 min 30

• Relativité et atmosphère
• De GPS à Galileo

I. De la somme de petites contributions à l'intégrale 3 min 30

• Sommer de petites contributions
• Le théorème fondamental de l'analyse

II. Applications en physique 3 min 30

• Travail et énergie
• Charge électrique, débit, énergie électrique

III. L'intégrale au-delà de la physique 2 min 30

• Moyennes et probabilités
• Aires et volumes

I. Définir le nombre d'or 3 min 30

• Une proportion connue depuis Euclide
• Le lien avec la suite de Fibonacci

II. φ dans la nature 3 min

• La phyllotaxie : la disposition des feuilles
• Des exemples souvent exagérés

III. φ dans l'art : mythe ou réalité ? 3 min 30

• Les exemples souvent cités
• La part du mythe

I. Modéliser une interaction stratégique 3 min 30

• Le dilemme du prisonnier
• L'équilibre de Nash (1950)

II. Quand la coopération devient possible 3 min 30

• Le dilemme répété : la stratégie donnant-donnant
• Probabilités et stratégies mixtes

III. Applications économiques et sociales 3 min

• Marchés et enchères
• La tragédie des biens communs