Cours complet : Notion de fonction
Une fonction est une relation qui associée à chaque nombre d'un ensemble de départ un nombre unique d'un ensemble d'arrivée. Une fonction est souvent notée $f(x)$ où $x$ est la variable d'entrée.
1. Notion de fonction
Une fonction $f$ associée à chaque $x$ un unique $y = f(x)$. L'ensemble de départ s'appelle domaine, l'ensemble d'arrivée s'appelle codomaine. Par exemple, $f(x) = 2x + 1$ associée à $x$ le nombre $2x + 1$.
2. Représentation d'une fonction
Une fonction peut être représentée de trois façons : 1) Par une formule : $f(x) = 2x + 1$. 2) Par un tableau de valeurs. 3) Par un graphique (courbe dans le plan cartésien).
3. Domaine et ensemble image
Le domaine est l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini. L'ensemble image (ou range) est l'ensemble des valeurs que $f(x)$ peut prendre. Par exemple, pour $f(x) = \sqrt{x}$, le domaine est $[0, +∞[$ et l'image aussi.
4. Croissance et décroissance
Une fonction est croissante sur un intervalle si $x_1 < x_2 ⟹ f(x_1) < f(x_2)$. Elle est décroissante si $x_1 < x_2 ⟹ f(x_1) > f(x_2)$. Une fonction constante reste toujours la même.
5. Parité des fonctions
Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$. Elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$. Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Celui d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
6. Composition de fonctions
La composition de $f$ et $g$, notée $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, signifie appliquer $g$ d'abord, puis $f$ au résultat. Par exemple, si $f(x) = 2x$ et $g(x) = x + 1$, alors $(f \circ g)(x) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2$.
Conclusion
Les fonctions sont au cœur des mathématiques modernes. Comprendre leur comportement est essentiel.
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