Cours complet : Fonctions linéaires et affines
Les fonctions linéaires et affines sont parmi les plus simples et les plus utiles. Une fonction linéaire a la forme $f(x) = ax$ tandis qu'une fonction affine a la forme $f(x) = ax + b$.
1. Fonction linéaire
Une fonction linéaire est $f(x) = ax$ où $a$ est la pente. Elle passe toujours par l'origine $(0, 0)$. Si $a > 0$, la fonction est croissante. Si $a < 0$, elle est décroissante.
2. Fonction affine
Une fonction affine est $f(x) = ax + b$ où $a$ est la pente et $b$ l'ordonnée à l'origine (intersection avec l'axe des $y$). Le graphe est une droite qui croise l'axe des $y$ en $(0, b)$.
3. Pente d'une droite
La pente $a$ mesure la raideur et la direction de la droite. Elle est égale à $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ pour deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sur la droite.
4. Équation d'une droite
Pour trouver l'équation $y = ax + b$ : 1) Calculer la pente $a$ avec deux points. 2) Utiliser un point et la pente pour trouver $b$. Ou utiliser la forme point-pente : $y - y_1 = a(x - x_1)$.
5. Droites parallèles et perpendiculaires
Deux droites $y = a_1x + b_1$ et $y = a_2x + b_2$ sont parallèles si $a_1 = a_2$. Elles sont perpendiculaires si $a_1 imes a_2 = -1$ (pentes opposées et inverses).
6. Interprétation graphique
Le graphe d'une fonction affine est une droite. Pour tracer : 1) Placer l'ordonnée à l'origine $(0, b)$. 2) Utiliser la pente pour placer d'autres points. La pente $a = \frac{\text{montée}}{\text{déplacement horizontal}}$.
Conclusion
Les fonctions linéaires et affines sont essentielles pour modéliser les relations proportionnelles et les situations linéaires du monde réel.
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