Cours complet : Puissances et notation scientifique
Une puissance $a^n$ représente le produit d'un nombre $a$ répété $n$ fois. Par exemple, $2^3 = 2 imes 2 imes 2 = 8$. Les puissances te permettent d'exprimer des nombres gigantesques (comme le nombre d'atomes dans l'univers : $10^{80}$) ou minuscules (comme la taille d'une molécule : $10^{-9}$ m) de façon compacte. Elles sont essentielles en sciences pour la notation scientifique et apparaissent fréquemment dans les calculs sur les cellules, les distances spatiales, et les magnitudes en physique.
1. Définition et notation
Pour tout nombre $a$ et entier positif $n$, on définit $a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}$. Le nombre $a$ s'appelle la base et $n$ l'exposant. Par convention, $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).
2. Puissances de 10
$10^n$ est 1 suivi de $n$ zéros. $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$. Pour les nombres décimaux : $10^{-1} = 0,1$, $10^{-2} = 0,01$, $10^{-3} = 0,001$. Les puissances de 10 sont utiles pour la notation scientifique.
3. Notation scientifique
Un nombre en notation scientifique s'écrit sous la forme $a imes 10^n$ où $1 ≤ a < 10$ et $n$ est un entier relatif. Par exemple, $5000 = 5 imes 10^3$ et $0,0007 = 7 imes 10^{-4}$.
4. Propriétés des puissances
Pour les nombres $a$ et $b$ et entiers $m$ et $n$ : $a^m imes a^n = a^{m+n}$, $a^m div a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m imes n}$, $(a imes b)^n = a^n imes b^n$, $( rac{a}{b})^n = rac{a^n}{b^n}$
5. Puissances négatives
Pour tout $a ≠ 0$ et entier positif $n$ : $a^{-n} = rac{1}{a^n}$. Par exemple, $2^{-3} = rac{1}{2^3} = rac{1}{8} = 0,125$.
6. Comparaison de puissances
Pour comparer des puissances, on peut les calculer ou utiliser les propriétés. Si la base est la même et > 1, l'exposant plus grand donne le plus grand résultat. Si la base est la même et entre 0 et 1, l'exposant plus grand donne le plus petit résultat.
Conclusion
Les puissances sont essentielles pour exprimer des nombres très grands ou très petits, et pour résoudre des équations exponentielles.
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