Cours complet : Systèmes d'équations
Un système d'équations est un ensemble d'équations qu'on doit résoudre simultanément. On cherche les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations à la fois. Les systèmes d'équations apparaissent souvent dans les problèmes concrets : acheter deux types d'articles avec des contraintes de prix, trouver l'intersection de deux droites, ou résoudre des problèmes avec deux inconnues. Plusieurs méthodes (substitution, addition) permettent de les résoudre efficacement.
1. Notion de système d'équations
Un système d'équations linéaires à deux variables a la forme : $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$. Une solution est un couple $(x, y)$ qui satisfait les deux équations.
2. Méthode de substitution
Exprimer une variable en fonction de l'autre dans une équation, puis la substituer dans l'autre équation. Par exemple : $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$ ⟹ $x = 5 - y$ ⟹ $2(5 - y) - y = 4$ ⟹ $y = 2, x = 3$
3. Méthode d'élimination
Multiplier les équations par des nombres pour que l'un des coefficients devienne identique (ou opposé), puis ajouter ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
4. Résolution graphique
Chaque équation représente une droite sur un graphique. La solution du système est le point d'intersection des deux droites. S'il n'y a pas d'intersection (droites parallèles), le système n'a pas de solution. Si les droites sont confondues, le système a infinies solutions.
5. Nombre de solutions possibles
Un système peut avoir : une unique solution (droites sécantes), aucune solution (droites parallèles mais non confondues), ou infinies solutions (droites confondues).
Conclusion
Les systèmes d'équations sont essentiels en algèbre linéaire et ont de nombreuses applications pratiques.
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