Calcul intégral

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a <= b. L'intégrale de f de a a b, notee intégrale de a a b de f(x)dx, est définie comme la difference F(b) - F(a), ou F est une primitive quelconque de f sur [a, b]. Ce résultat est indépendant du choix de la primitive F, car si G est une autre primitive, G = F + C et G(b) - G(a) = F(b) + C - F(a) - C = F(b) - F(a). On note aussi [F(x)] entre a et b = F(b) - F(a). L'interpretation géométrique est fondamentale : lorsque f est positive sur [a, b], l'intégrale represente l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. Lorsque f est negative sur [a, b], l'intégrale est negative et son oppose donne l'aire du domaine situe sous l'axe des abscisses. Lorsque f change de signe, l'intégrale est une somme algébrique : les aires au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous negativement. Par convention, intégrale de b a a de f(x)dx = -(intégrale de a a b de f(x)dx), et intégrale de a a a de f(x)dx = 0. La variable x dans f(x)dx est une variable muette : on peut la remplacer par t, u ou tout autre nom sans changer la valeur de l'intégrale. Ce résultat, connu sous le nom de théorème fondamental de l'analyse, est le pont entre dérivation et intégration.

L'intégrale possede des propriétés fondamentales qui facilitent les calculs et les raisonnements. La linearite est la propriété la plus utile : pour toutes fonctions continues f et g sur [a, b] et tous réels alpha et beta, intégrale de a a b de (alpha*f(x) + beta*g(x))dx = alpha * intégrale de a a b de f(x)dx + beta * intégrale de a a b de g(x)dx. On peut donc intégrer terme a terme et sortir les constantes multiplicatives. La relation de Chasles affirme que pour tout c entre a et b (ou meme en dehors), intégrale de a a b de f(x)dx = intégrale de a a c de f(x)dx + intégrale de c a b de f(x)dx. Cette propriété est tres utile quand f est définie par morceaux ou quand elle change de signe en c. La positivite de l'intégrale est aussi fondamentale : si f(x) >= 0 pour tout x dans [a, b], alors intégrale de a a b de f(x)dx >= 0. En consequence, si f(x) >= g(x) pour tout x dans [a, b], alors intégrale de a a b de f(x)dx >= intégrale de a a b de g(x)dx (croissance de l'intégrale). L'inégalité de la moyenne en decoule : si m <= f(x) <= M pour tout x dans [a, b], alors m*(b-a) <= intégrale de a a b de f(x)dx <= M*(b-a). Ces propriétés permettent d'encadrer des intégrales sans les calculer explicitement, une technique tres prisee au BAC.

La valeur moyenne d'une fonction continue f sur un intervalle [a, b] (avec a < b) est le nombre réel mu défini par mu = (1/(b-a)) * intégrale de a a b de f(x)dx. L'interpretation géométrique est la suivante : mu est la hauteur du rectangle de base [a, b] ayant la meme aire que le domaine sous la courbe de f. En d'autres termes, l'aire sous la courbe entre a et b est égale a l'aire du rectangle de largeur (b-a) et de hauteur mu. On a donc intégrale de a a b de f(x)dx = mu * (b-a). Le théorème de la moyenne (ou théorème des valeurs intermédiaires pour les intégrales) affirme que si f est continue sur [a, b], alors il existe au moins un réel c dans [a, b] tel que f(c) = mu. Autrement dit, la fonction f atteint effectivement sa valeur moyenne en au moins un point de l'intervalle. Ce théorème est la version intégrale du théorème des valeurs intermédiaires. La valeur moyenne intervient dans de nombreuses applications : temperature moyenne sur une journee, vitesse moyenne d'un mobile, concentration moyenne d'un produit chimique, puissance moyenne d'un signal electrique. Il est important de distinguer la valeur moyenne (qui utilise l'intégrale) de la moyenne arithmetique de quelques valeurs ponctuelles.

Le calcul d'aires est l'une des applications principales de l'intégrale. L'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b se calcule differemment selon le signe de f. Si f est positive sur [a, b], l'aire est simplement l'intégrale de a a b de f(x)dx. Si f est negative sur [a, b], l'aire est l'oppose de l'intégrale : Aire = -intégrale de a a b de f(x)dx = intégrale de a a b de |f(x)|dx. Si f change de signe sur [a, b], il faut decouper l'intervalle aux points ou f s'annule et calculer separement sur chaque sous-intervalle : Aire = intégrale de a a b de |f(x)|dx. Pour l'aire entre deux courbes, si f(x) >= g(x) sur [a, b], l'aire du domaine compris entre les courbes de f et g est intégrale de a a b de (f(x) - g(x))dx. Si les courbes se croisent en un ou plusieurs points, il faut decouper l'intervalle aux points d'intersection et déterminer quelle courbe est au-dessus sur chaque sous-intervalle. L'unite d'aire (u.a.) depend des unites des axes : si 1 cm sur l'axe des x represente u_x et 1 cm sur l'axe des y represente u_y, alors 1 u.a. = u_x * u_y en unites metriques. Typiquement, si le repere est orthonorme avec 1 unite = 1 cm, alors 1 u.a. = 1$cm^2$. La gestion du signe est le point le plus delicat et la source d'erreurs la plus frequente dans les exercices de calcul d'aires au BAC.

L'intégration par parties (IPP) est une technique puissante qui permet de calculer des intégrales qu'on ne peut pas obtenir directement par le tableau des primitives. Elle decoule de la formule de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv', ce qui donne, en integrant entre a et b : intégrale de a a b de u'(x)*v(x)dx = [u(x)*v(x)] entre a et b - intégrale de a a b de u(x)*v'(x)dx. Le principe est de transformer une intégrale difficile en une intégrale plus simple. Pour cela, on choisit judicieusement u' et v dans le produit a intégrer, de sorte que le produit u*v' soit plus facile a intégrer que u'*v. Les cas typiques sont : pour intégrer x*$$e^x $$, on pose v = x et u' =$$e^x $$ (car la dérivée de x simplifie l'expression) ; pour intégrer x*cos(x), on pose v = x et u' = cos(x) ; pour intégrer x*$ln(x)$, on pose v =$ln(x)$ et u' = x (car $ln(x)$ se derive plus simplement qu'il ne se primitive). La regle mnemonique LATE (Logarithme, algébrique, trigonométrique, Exponentielle) aide a choisir v : on prend v en priorite dans l'ordre L-A-T-E. Certaines intégrales necessitent deux IPP successives, comme intégrale de $x^2$*$$e^x $$ dx. L'IPP peut aussi servir a etablir des formules de récurrence entre intégrales. Les intégrales de reference a connaitre sont : intégrale de $ln(x)$dx = x*$ln(x)$ - x + C, obtenue par IPP avec v =$ln(x)$ et u' = 1.