Cours complet : Primitives et équations différentielles
Le calcul de primitives est l'opération inverse de la dérivation : il s'agit de retrouver une fonction connaissant sa dérivée. Cette opération est fondamentale en analyse car elle permet de calculer des intégrales, de résoudre des équations differentielles et de modeliser de nombreux phenomenes physiques, biologiques ou economiques. Les équations differentielles du type y' = ay et y' = ay + b sont des outils puissants pour decrire l'evolution de grandeurs au cours du temps : désintégration radioactive, croissance de populations, circuits electriques, pharmacocinetique. Ce chapitre constitue un pilier du programme de Terminale et intervient dans la plupart des sujets du BAC, aussi bien en exercice isole que dans des problemes de modelisation. La maitrise du tableau des primitives usuelles, des techniques de reconnaissance de formes composées et de la résolution d'équations differentielles a coefficients constants est indispensable pour aborder sereinement l'epreuve finale.
Prérequis
- dérivation : regles de dérivation, dérivées des fonctions usuelles
- Fonctions exponentielles : propriétés de e^x, dérivée de e^(u(x))
- Fonctions trigonométriques : dérivées de cos(x) et sin(x)
- Fonctions logarithme népérien : dérivée de ln(x), propriétés
- Notion de fonction composée et regle de la chaine
- résolution d'équations du premier degre et systemes simples
1. Primitives d'une fonction
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est derivable sur I et si pour tout x de I, F'(x) = f(x). La recherche d'une primitive est donc l'opération inverse de la dérivation : on cherche la fonction dont la dérivée est égale a la fonction donnee. Si F est une primitive de f sur I, alors pour toute constante réelle C, la fonction G définie par G(x) = F(x) + C est aussi une primitive de f sur I. Reciproquement, si F et G sont deux primitives de f sur I, alors il existe une constante réelle C telle que G(x) = F(x) + C pour tout x de I. On dit que F est unique a une constante pres. L'ensemble de toutes les primitives de f sur I est donc la famille de fonctions F(x) + C, ou C parcourt R. Pour déterminer une primitive particulière, on utilise une condition initiale : si on impose F(x0) = y0, alors la constante C est determinee de maniere unique par C = y0 - F(x0). Le théorème fondamental de l'analyse garantit que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Les primitives des fonctions usuelles sont resumees dans un tableau qu'il faut connaitre par coeur. La notation intégrale est aussi utilisee : on ecrit parfois F(x) = intégrale de f(t)dt, ce qui sera formalise dans le chapitre sur le calcul integral.
Méthode — déterminer la primitive verifiant une condition initiale
- Identifier f(x) et trouver une primitive F(x) a l'aide du tableau des primitives
- écrire la forme générale : G(x) = F(x) + C
- Utiliser la condition initiale G(x0) = y0 pour calculer C
- résoudre : C = y0 - F(x0)
- écrire la primitive particulière G(x) = F(x) + C avec la valeur trouvee
Exemple : Trouver la primitive F de f(x) = 3x^2 - 2x + 1 sur R telle que F(0) = 5.
- Trouver une primitive générale : On primitive terme a terme : une primitive de 3x^2 est $x^3$, une primitive de -2x est -$x^2$, une primitive de 1 est x. Donc F(x) =$x^3$ -$x^2$ + x + C.
- Utiliser la condition initiale : F(0) = 5 donne 0 - 0 + 0 + C = 5, donc C = 5.
- Conclure : La primitive cherchee est F(x) =$x^3$ -$x^2$ + x + 5. Verification : F'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = f(x).
⚠️ Attention : Ne pas oublier la constante C lors du calcul d'une primitive. écrire 'la primitive de 2x est x^2' est faux : la bonne réponse est x^2 + C. Seule une condition initiale permet de fixer C.
2. Tableau des primitives usuelles
Le tableau des primitives est l'outil fondamental de ce chapitre. Il recense les primitives des fonctions les plus courantes et doit etre su parfaitement pour le BAC. Pour les fonctions puissances, une primitive de $x^n $ (avec n entier, n different de -1) est x^(n+1)/(n+1). Pour la fonction inverse 1/x, une primitive est ln|x| sur chaque intervalle ]-inf, 0[ ou ]0, +inf[. La fonction exponentielle $$e^x $$ est sa propre primitive. Pour les fonctions trigonométriques, une primitive de cos(x) est sin(x) et une primitive de sin(x) est -cos(x). Pour la fonction 1/sqrt(x) définie sur ]0, +inf[, une primitive est 2*sqrt(x). Ces résultats se generalisent aux fonctions composées de la forme f(ax+b) : une primitive de f(ax+b) est (1/a)*F(ax+b), ou F est une primitive de f. Ainsi, une primitive de $e^(ax+b)$ est (1/a)*$e^(ax+b)$, une primitive de cos(ax+b) est (1/a)*sin(ax+b), une primitive de sin(ax+b) est -(1/a)*cos(ax+b), et une primitive de 1/(ax+b) est (1/a)*ln|ax+b|. Le tableau inclut aussi les formes composées avec u : une primitive de u'*$u^n $ est u^(n+1)/(n+1), une primitive de u'/u est ln|u|, une primitive de u'*$$e^u $$ est $$e^u $$, une primitive de u'*cos(u) est sin(u), et une primitive de u'*sin(u) est -cos(u). Ces formules sont obtenues par lecture inverse des regles de dérivation.
Méthode — Utiliser le tableau des primitives
- Identifier la forme de la fonction f : est-ce une fonction usuelle ou une forme composée ?
- Si f(x) est une fonction usuelle (x^n, 1/x, e^x, cos, sin), appliquer directement le tableau
- Si f(x) est de la forme g(ax+b), utiliser la regle : primitive = (1/a) * G(ax+b)
- Si f(x) est de la forme u'*g(u), identifier u et u', puis appliquer la formule composée
- vérifier que u' est bien present comme facteur multiplicatif
- Ajouter la constante C et vérifier en derivant
Exemple : déterminer une primitive de f(x) = cos(3x + pi/4) sur R.
- Identifier la forme : f(x) = cos(ax + b) avec a = 3 et b = pi/4. C'est une forme composée avec une fonction affine.
- Appliquer la formule : F(x) = (1/3)*sin(3x + pi/4) + C.
- vérifier : F'(x) = (1/3)*3*cos(3x + pi/4) = cos(3x + pi/4) = f(x). C'est correct.
Exemple : déterminer une primitive de g(x) = (2x+1)/($x^2$+x+3) sur R.
- Identifier la forme : On pose u(x) =$x^2$ + x + 3. Alors u'(x) = 2x + 1. On reconnait la forme u'/u.
- Appliquer : G(x) = ln|$x^2$ + x + 3| + C. Comme $x^2$+x+3 > 0 pour tout x (discriminant negatif), on peut écrire G(x) =$ln($x^2$+x+3)$ + C.
⚠️ Attention : Attention au coefficient (1/a) quand on primitive une fonction de la forme f(ax+b). Oublier ce facteur est l'erreur la plus frequente. Par exemple, une primitive de e^(2x) est (1/2)*e^(2x) et non e^(2x).
3. équations differentielles y' = ay
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y(x) et qui fait intervenir y et ses dérivées. L'équation y' = ay, ou a est un réel non nul, est l'équation différentielle la plus simple et la plus importante du programme de Terminale. Elle signifie que le taux de variation instantane de y est proportionnel a y elle-meme. Les solutions de l'équation y' = ay sont exactement les fonctions de la forme y(x) = C*$e^(ax)$, ou C est une constante réelle quelconque. La démonstration repose sur le fait que si y est solution non nulle, alors y'/y = a, ce qui donne (ln|y|)' = a, puis ln|y| = ax + k, et finalement |y| =$$e^k $$ *$e^(ax)$. En posant C = +/-$$e^k $$ (ou C = 0 pour la solution triviale), on obtient y(x) = C*$e^(ax)$. Si a > 0, les solutions sont des exponentielles croissantes (croissance exponentielle). Si a < 0, les solutions sont des exponentielles decroissantes tendant vers 0 (decroissance exponentielle). Une condition initiale y(x0) = y0 determine de maniere unique la constante C par la relation C = y0 *$e^(-a*x0)$. En particulier, si x0 = 0, alors C = y0. Ces équations modelisent la radioactivite (N(t) = N0*$e^(-lambda*t)$), la croissance bacterienne, la charge d'un condensateur et de nombreux autres phenomenes.
Méthode — résoudre l'équation y' = ay avec condition initiale
- Identifier la valeur de a dans l'équation y' = ay
- écrire la solution générale : y(x) = C*e^(ax)
- Utiliser la condition initiale y(x0) = y0
- Substituer : y0 = C*e^(a*x0)
- Isoler C : C = y0*e^(-a*x0)
- écrire la solution particulière et simplifier
Exemple : résoudre l'équation différentielle y' = 3y avec la condition initiale y(0) = 2.
- Solution générale : L'équation est de la forme y' = ay avec a = 3. Les solutions sont y(x) = C*$e^(3x)$, C dans R.
- Condition initiale : y(0) = 2 donne C*$e^0$ = C = 2.
- Solution particulière : La solution est y(x) = 2*$e^(3x)$. C'est une exponentielle croissante (a = 3 > 0). Verification : y'(x) = 6*$e^(3x)$ = 3*2*$e^(3x)$ = 3*y(x).
Exemple : La masse d'un echantillon radioactif decroit selon la loi m'(t) = -0.05*m(t). La masse initiale est 100 g. Exprimer m(t) et déterminer la demi-vie.
- Modelisation : On a m' = -0.05*m, équation du type y' = ay avec a = -0.05. La solution générale est m(t) = C*$e^(-0.05t)$.
- Condition initiale : m(0) = 100 donne C = 100. Donc m(t) = 100*$e^(-0.05t)$.
- Demi-vie : On cherche t tel que m(t) = 50. 100*$e^(-0.05t)$ = 50,$e^(-0.05t)$ = 0.5, -0.05t =$ln(0.5)$, t = -$ln(0.5)$/0.05 =$ln(2)$/0.05 = 20*$ln(2)$.
⚠️ Attention : Ne pas confondre le signe de a et celui de C. Le signe de a determine si la solution croit ou decroit vers l'infini, tandis que le signe de C determine le signe de la solution. Si a < 0 et C > 0, la solution est positive et décroissante.
4. équations differentielles y' = ay + b
L'équation différentielle y' = ay + b, ou a et b sont des constantes réelles avec a non nul, generalise l'équation y' = ay en ajoutant un terme constant b. La méthode de résolution se decomposé en deux étapes. première étape : on cherche une solution particulière constante y_p. Si y est constante, alors y' = 0, et l'équation devient 0 = a*y_p + b, ce qui donne y_p = -b/a. Deuxieme étape : on resout l'équation homogene associée y' = ay, dont les solutions sont y_h(x) = C*$e^(ax)$. La solution générale de y' = ay + b est la somme de la solution particulière et de la solution homogene : y(x) = C*$e^(ax)$ + (-b/a), soit y(x) = C*$e^(ax)$ - b/a. La constante C est determinee par une condition initiale y(x0) = y0. On substitue et on resout : y0 = C*$e^(a*x0)$ - b/a, donc C = (y0 + b/a)*$e^(-a*x0)$. Si a < 0, les solutions tendent vers -b/a quand x tend vers +inf, car le terme C*$e^(ax)$ tend vers 0. La valeur -b/a est appelee valeur d'equilibre ou état stationnaire. Si a > 0, les solutions divergent vers +/- l'infini. Ces équations modelisent de nombreuses situations : refroidissement de Newton (y' = -k(y - T_ext)), evolution d'un capital avec versements constants, concentration d'un medicament avec perfusion continue, circuit RC en electricite.
Méthode — résoudre y' = ay + b avec condition initiale
- Identifier a et b dans l'équation y' = ay + b
- Calculer la solution particulière constante : y_p = -b/a
- écrire la solution de l'équation homogene y' = ay : y_h = C*e^(ax)
- La solution générale est y(x) = C*e^(ax) - b/a
- Utiliser la condition initiale y(x0) = y0 pour déterminer C
- C = (y0 + b/a) * e^(-a*x0)
- écrire la solution particulière complete
Exemple : résoudre y' = -0.5y + 100 avec y(0) = 0.
- Identifier a et b : On a a = -0.5 et b = 100.
- Solution particulière constante : y_p = -b/a = -100/(-0.5) = 200.
- Solution générale : y(x) = C*$e^(-0.5x)$ + 200.
- Condition initiale : y(0) = 0 donne C + 200 = 0, donc C = -200.
- Solution finale : y(x) = -200*$e^(-0.5x)$ + 200 = 200*(1 -$e^(-0.5x)$). La solution part de 0 et tend vers 200 (valeur d'equilibre) quand x -> +inf.
Exemple : Un capital K(t) est place a un taux continu de 3% et on retire 1500 euros par an. On a K'(t) = 0.03*K(t) - 1500, avec K(0) = 60000. déterminer K(t) et dire si le capital s'epuise.
- Identifier a et b : a = 0.03, b = -1500.
- Solution particulière : K_p = -(-1500)/0.03 = 50000.
- Solution générale et condition initiale : K(t) = C*$e^(0.03t)$ + 50000. K(0) = 60000 donne C + 50000 = 60000, C = 10000.
- Solution et interpretation : K(t) = 10000*$e^(0.03t)$ + 50000. Comme a = 0.03 > 0 et C = 10000 > 0, le capital croit indéfiniment. Le retrait est insuffisant pour epuiser le capital car le capital initial (60000) depasse la valeur d'equilibre (50000).
⚠️ Attention : Ne pas oublier le signe moins devant b/a dans la solution particulière. Si l'équation est y' = -2y + 6, alors a = -2, b = 6, et y_p = -6/(-2) = 3 (et non -3). Bien identifier les signes de a et b avant de calculer.
5. Calcul de primitives par reconnaissance de forme
Le calcul de primitives par reconnaissance de forme est une technique essentielle qui consiste a identifier dans une expression la dérivée d'une fonction composée. L'idee générale est la suivante : si on reconnait dans f(x) une expression du type u'(x)*g(u(x)), alors une primitive est G(u(x)), ou G est une primitive de g. Les trois formes les plus courantes sont : u'(x)/u(x) dont une primitive est ln|u(x)|, u'(x)*$e^(u(x)$) dont une primitive est $e^(u(x)$), et u'(x)*[u(x)]^n dont une primitive est [u(x)]^(n+1)/(n+1) pour n different de -1. Pour appliquer cette méthode, il faut d'abord identifier la fonction u et calculer sa dérivée u'. Il faut ensuite vérifier que u' apparait bien comme facteur dans l'expression. Parfois, u' n'apparait pas directement mais a un coefficient multiplicatif pres : on sort alors le coefficient ajuste. Quand la reconnaissance de forme ne s'applique pas directement, on peut essayer de developper l'expression avant de primitiver terme a terme. Par exemple, pour primitiver (2x+1)^3, on peut soit reconnaitre une forme $u^n $ avec u = 2x+1 et u' = 2 (il manque le facteur 2, donc on divise par 2), soit developper (2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 et primitiver chaque terme. La decomposition en éléments simples (au programme seulement pour les cas les plus simples) permet de primitiver des fractions rationnelles en les ecrivant comme somme de fractions plus simples. Par exemple, 1/((x-1)(x+1)) = (1/2)*(1/(x-1)) - (1/2)*(1/(x+1)).
Méthode — Primitiver par reconnaissance de forme
- Observer l'expression et chercher a identifier une fonction composée u
- Calculer u' et vérifier que u' apparait comme facteur
- Si u' apparait a un coefficient pres, ajuster en multipliant/divisant par la constante adequatement
- Appliquer la formule de primitive correspondante (ln|u|, e^u, u^(n+1)/(n+1), etc.)
- Si la reconnaissance echoue, essayer de developper ou de factoriser l'expression
- vérifier en derivant la primitive obtenue
Exemple : Trouver une primitive de f(x) = 2x*$e^($x^2$)$ sur R.
- Identifier u et u' : On pose u(x) =$x^2$. Alors u'(x) = 2x. L'expression f(x) = 2x*$e^($x^2$)$ est exactement de la forme u'*$$e^u $$.
- Appliquer : F(x) =$e^($x^2$)$ + C.
- vérifier : F'(x) = 2x*$e^($x^2$)$ = f(x). Correct.
Exemple : Trouver une primitive de g(x) = x/($x^2$ + 1) sur R.
- Identifier u et u' : On pose u(x) =$x^2$ + 1. Alors u'(x) = 2x. Or g(x) = x/($x^2$+1) = (1/2)*(2x)/($x^2$+1) = (1/2)*(u'/u).
- Appliquer : G(x) = (1/2)*ln|$x^2$+1| + C = (1/2)*$ln($x^2$+1)$ + C (car $x^2$+1 > 0).
Exemple : Trouver une primitive de h(x) = 3x^2*($x^3$ - 5)^4 sur R.
- Identifier u et u' : On pose u(x) =$x^3$ - 5. Alors u'(x) = 3x^2. L'expression h(x) = 3x^2*($x^3$-5)^4 = u'*$u^4$.
- Appliquer avec n = 4 : H(x) = ($x^3$-5)^5 / 5 + C.
⚠️ Attention : La méthode de reconnaissance ne fonctionne que si u' est present comme facteur (eventuellement a une constante multiplicative pres). Par exemple, x*e^(x^2) se primitive par reconnaissance (u' = 2x, facteur x present a un coefficient pres), mais e^(x^2) seul ne se primitive PAS par les methodes du lycee.
Conclusion
Les primitives et les équations differentielles forment un couple indissociable de l'analyse en Terminale. La maitrise du tableau des primitives, des techniques de reconnaissance de forme et de la résolution des équations y' = ay et y' = ay + b est essentielle pour le BAC. Ces outils interviennent dans le calcul integral (chapitre suivant), dans les problemes de modelisation et dans de nombreuses applications scientifiques. La pratique régulière du calcul de primitives, en variant les types de fonctions et les methodes, est la clé de la reussite.
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