Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie comme la reciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x,$$e^x $$ est l'unique réel y strictement positif tel que $ln(y)$ = x. On ecrit y =$$e^x $$ ou y = exp(x). La relation fondamentale est : y =$$e^x $$ equivaut a x =$ln(y)$ (avec y > 0). Les valeurs remarquables sont $e^0$ = 1 (car $ln(1)$ = 0) et $e^1$ = e (car $ln(e)$ = 1), ou e = 2.71828... est la constante de néper. La propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle est la transformation des sommes en produits : pour tous réels a et b,$e^(a+b)$ =$$e^a $$ *$$e^b $$. Cette propriété se demontre a partir des propriétés du logarithme. De cette relation decoulent toutes les autres :$e^(a-b)$ =$$e^a $$ /$$e^b $$,$e^(-a)$ = 1/$$e^a $$, ($$e^a $$)^n =$e^(na)$ pour tout entier n. Plus généralement, pour tout rationnel r,$e^(ra)$ = ($$e^a $$)^r. On a aussi $$e^a $$ *$e^(-a)$ =$e^0$ = 1, ce qui montre que $e^(-a)$ est l'inverse de $$e^a $$. Une consequence capitale est que $$e^x $$ > 0 pour tout réel x : l'exponentielle ne s'annule jamais et est toujours strictement positive. Cela decoule du fait que $$e^x $$ est un élément de ]0, +infini[ par définition.

La fonction exponentielle f(x) =$$e^x $$ est définie et derivable sur R tout entier. Sa propriété la plus remarquable est qu'elle est égale a sa propre dérivée : ($$e^x $$)' =$$e^x $$. C'est d'ailleurs l'unique fonction f derivable sur R verifiant f' = f et f(0) = 1. Cette propriété simplifie considérablement les calculs de dérivées et intervient dans la résolution des équations differentielles y' = ky. La fonction exponentielle est toujours strictement positive : pour tout x réel,$$e^x $$ > 0. Elle ne s'annule jamais et n'admet aucune racine. La dérivée $$e^x $$ etant toujours positive, la fonction est strictement croissante sur R. Le tableau de variation montre que f croit de 0 (non atteint, en -infini) a +infini. La courbe representative passe par le point (0, 1) et a pour tangente en ce point la droite y = x + 1 (car f(0) = 1 et f'(0) = 1). La courbe est convexe car la dérivée seconde f''(x) =$$e^x $$ > 0 pour tout x. La courbe de $$e^x $$ est la symetrique de la courbe de $ln(x)$ par rapport a la droite y = x, consequence de la reciprocite entre exp et ln. L'axe des abscisses (y = 0) est asymptote horizontale en -infini. La croissance de l'exponentielle est dite exponentielle : elle est plus rapide que toute croissance polynomiale.

Les limites fondamentales de la fonction exponentielle sont :$lim(x -> +infini)$$$e^x $$ = +infini et $lim(x -> -infini)$$$e^x $$ = 0. En +infini, l'exponentielle croit sans borne et plus rapidement que toute fonction polynomiale. En -infini, l'exponentielle tend vers 0 sans jamais l'atteindre : l'axe des abscisses est asymptote horizontale. Les croissances comparées expriment la domination de l'exponentielle sur les puissances. Pour tout entier n >= 1,$lim(x -> +infini)$$$e^x $$ /$x^n $ = +infini : en +infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x. De maniere equivalente,$lim(x -> +infini)$$x^n $ /$$e^x $$ = 0. En -infini, la situation est duale : pour tout entier n >= 1,$lim(x -> -infini)$$x^n $ *$$e^x $$ = 0, ce qui signifie que $$e^x $$ tend vers 0 plus vite que toute puissance de x ne tend vers l'infini. Ces résultats sont les symetriques de ceux du logarithme népérien et constituent des outils indispensables pour lever des formes indeterminees du type infini/infini ou 0 * infini. En pratique, dans tout conflit entre une exponentielle et une puissance, l'exponentielle gagne toujours. Ce principe est la clé des exercices de limites au BAC. On l'utilise également sous la forme $lim(x -> +infini)$$$e^x $$ / x = +infini, qui est le cas particulier n = 1.

La résolution d'équations et d'inéquations exponentielles repose sur l'injectivite de l'exponentielle : si $$e^a $$ =$$e^b $$, alors a = b. C'est une consequence de la stricte croissance de exp. Pour résoudre $e^(f(x)$) = a avec a > 0, on passe au logarithme : f(x) =$ln(a)$. Si a <= 0, l'équation n'a pas de solution car $$e^x $$ > 0 toujours. Pour résoudre $e^(f(x)$) =$e^(g(x)$), on simplifie directement en f(x) = g(x), sans condition supplementaire car exp est définie sur R. Pour les inéquations,$e^(f(x)$) >$e^(g(x)$) equivaut a f(x) > g(x) car exp est strictement croissante (elle conserve le sens des inégalités). L'inéquation $e^(f(x)$) > a avec a > 0 se transforme en f(x) >$ln(a)$. Si a <= 0, l'inéquation est toujours verifiee car $e^(f(x)$) > 0 > a. Le passage au logarithme népérien est l'outil principal : appliquer ln aux deux membres d'une équation exponentielle permet de la lineariser. Par exemple, 2^x = 5 donne x*$ln(2)$ =$ln(5)$, soit x =$ln(5)$/$ln(2)$. Le changement de variable X =$$e^x $$ peut aussi etre utile : une équation comme $e^(2x)$ - 3*$$e^x $$ + 2 = 0 se transforme en $X^2$ - 3X + 2 = 0 avec X =$$e^x $$ > 0.

Lorsqu'on composé la fonction exponentielle avec une fonction u derivable, la dérivée de f(x) =$e^(u(x)$) est donnee par la formule f'(x) = u'(x) *$e^(u(x)$). Cette formule se deduit de la regle de dérivation des fonctions composées appliquee a exp. En pratique, pour dériver $e^(u(x)$), on multiplie $e^(u(x)$) par la dérivée de l'exposant u'(x). Par exemple, si f(x) =$e^(3x+1)$, alors u(x) = 3x+1, u'(x) = 3, et f'(x) = 3*$e^(3x+1)$. Les fonctions classiques du BAC incluent x*$$e^x $$ (dérivée : (1+x)*$$e^x $$ = (x+1)*$$e^x $$), x*$e^(-x)$ (dérivée : (1-x)*$e^(-x)$),$e^(-$x^2$)$ et $x^2$*$$e^x $$. Pour étudier le signe de la dérivée d'une fonction contenant $$e^u $$, on factorise par $$e^u $$ qui est toujours positif : le signe de f'(x) ne depend que du facteur restant. L'étude de fonctions comme f(x) = x*$e^(-x)$ est un grand classique du BAC : domaine R, dérivée (1-x)*$e^(-x)$, signe de 1-x (positif pour x < 1, negatif pour x > 1), maximum en x = 1 valant f(1) =$e^(-1)$ = 1/e, limites en -infini et +infini par croissances comparées. La formule ($$e^u $$)' = u'*$$e^u $$ est aussi utile pour reconnaitre des primitives : si une expression est de la forme u'*$$e^u $$, sa primitive est $$e^u $$ + C.