Quand utiliser la loi binomiale ?

Quatre conditions à VÉRIFIER avant d'invoquer la loi binomiale : (1) NOMBRE FIXE n d'épreuves ; (2) deux ISSUES seulement (succès / échec) ; (3) probabilité p de succès CONSTANTE ; (4) épreuves INDÉPENDANTES. Exemples concrets : tirer 10 fois une boule dans une urne AVEC remise (binomiale) ; lancer 20 fois un dé pour compter les 6 (binomiale). Contre-exemple : tirer 5 cartes d'un jeu SANS remise (loi hypergéométrique, pas binomiale). Si l'une des 4 conditions est violée, ne PAS appliquer la loi binomiale.

Comment calculer P(X = k) avec la loi binomiale ?

Formule à appliquer : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k), où C(n, k) est le coefficient binomial (« k parmi n »), p la probabilité de succès, n le nombre d'épreuves. Sur calculatrice (mode examen) : utiliser la fonction binomPDF(n, p, k) ou nombreuses CASIO/TI. Exemple : 10 lancers de pièce équilibrée, probabilité d'obtenir exactement 6 piles = C(10, 6) × 0,5^6 × 0,5^4 = 210 × 0,015625 × 0,0625 ≈ 0,205. Pour P(X ≤ k) ou P(X ≥ k) : utiliser binomCDF (cumul) ou la propriété P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).

Espérance et variance d'une loi binomiale ?

Pour X qui suit B(n, p) : ESPÉRANCE E(X) = n × p (nombre MOYEN de succès attendu) ; VARIANCE V(X) = n × p × (1-p) ; ÉCART-TYPE σ(X) = √(n × p × (1-p)). Démonstration : la loi binomiale est la somme de n lois de Bernoulli indépendantes, on additionne donc les espérances et les variances. Exemple : 100 lancers de pièce équilibrée, E(X) = 50 piles attendus, V(X) = 25, σ(X) = 5 piles d'écart-type. Conséquence pratique : on s'attend à entre 45 et 55 piles dans environ 68 % des cas (règle de la cloche).

Différence entre loi binomiale et loi de Bernoulli ?

Une loi de BERNOULLI modélise UNE SEULE épreuve à deux issues : X = 1 (succès) avec probabilité p, X = 0 (échec) avec probabilité 1-p. E(X) = p, V(X) = p(1-p). La loi BINOMIALE compte le nombre de SUCCÈS dans n épreuves de Bernoulli INDÉPENDANTES. Autrement dit : binomiale = somme de n Bernoulli. Si X_1, ..., X_n suivent Bernoulli(p) et sont indépendantes, alors X_1 + ... + X_n suit B(n, p). C'est pourquoi E(B(n,p)) = nE(Bernoulli(p)) = np.

Comment décider à partir d'une loi binomiale (intervalle de fluctuation) ?

L'INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE à 95 % pour la fréquence est [p - 1,96√(p(1-p)/n) ; p + 1,96√(p(1-p)/n)]. Si la fréquence OBSERVÉE dans un échantillon de taille n est DEHORS de cet intervalle, on REJETTE l'hypothèse p au seuil 5 %. Exemple : si une usine annonce 2 % de pièces défectueuses et qu'on en trouve 15 sur 200 (7,5 %), on calcule l'intervalle [0,2 % ; 3,8 %] — la fréquence observée est dehors, on rejette l'annonce de l'usine. Sert aussi à valider des sondages.

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Mathématiques · Définition

Loi binomiale

Une variable X suit la loi binomiale B(n,p) si elle compte le nombre de succès dans n épreuves indépendantes à 2 issues (succès/échec avec probabilité p). P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k). E(X) = np, V(X) = np(1-p).

Comité éditorial FlashBac · Mathématiques·Vérifié le 24 mai 2026·Sources

Définition complète

Une VARIABLE ALÉATOIRE X suit la LOI BINOMIALE B(n, p) si elle compte le NOMBRE DE SUCCÈS dans n ÉPREUVES INDÉPENDANTES de Bernoulli (chaque épreuve a deux issues : succès avec probabilité p, échec avec probabilité 1-p). Condition d'application : (1) n épreuves identiques, (2) deux issues seulement, (3) probabilité p constante, (4) épreuves indépendantes. Formule : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k), où C(n, k) est le coefficient binomial (« n parmi k »). PARAMÈTRES : ESPÉRANCE E(X) = n × p, VARIANCE V(X) = n × p × (1-p), ÉCART-TYPE σ = √(n × p × (1-p)). Exemple classique : tirage de boules avec remise dans une urne, lancers d'un dé pour compter les 6, contrôle qualité (nombre de pièces défectueuses dans un lot). Si l'une des conditions est violée (par exemple tirage SANS remise), la loi n'est PAS binomiale mais hypergéométrique. Au programme du Bac 2026.

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