Logarithme népérien (ln)

Le LOGARITHME NÉPÉRIEN, noté ln, est la PRIMITIVE de la fonction x → 1/x qui s'annule en 1. Il est défini pour x > 0. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES essentielles : (1) ln(ab) = ln(a) + ln(b) — un produit devient une somme ; (2) ln(a/b) = ln(a) - ln(b) ; (3) ln(a^n) = n × ln(a) ; (4) ln(√a) = ln(a)/2 ; (5) ln(1) = 0 et ln(e) = 1. La fonction ln est STRICTEMENT CROISSANTE et CONCAVE sur ]0, +∞[. Limites : lim x→0⁺ ln x = -∞, lim x→+∞ ln x = +∞ (mais lentement, par croissance comparée). La fonction RÉCIPROQUE est l'EXPONENTIELLE : ln(e^x) = x et e^(ln x) = x pour x > 0. Application : RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS où l'inconnue est en exposant (a^x = b ⟺ x = ln(b)/ln(a)), MESURES LOGARITHMIQUES (pH, magnitude des séismes, décibels), DÉRIVATION simplifiée des produits/quotients via logarithmique. Piège classique : ln(a + b) ≠ ln(a) + ln(b). Au programme du Bac 2026.