Mathématiques · Définition
Démonstration par récurrence
Méthode de démonstration en 3 étapes : 1) INITIALISATION (la propriété est vraie pour le premier rang n_0), 2) HÉRÉDITÉ (si vraie au rang n, alors vraie au rang n+1), 3) CONCLUSION par principe de récurrence.
Définition complète
La DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE est une méthode fondamentale en mathématiques pour prouver une propriété P(n) qui dépend d'un entier naturel n, valable pour tout n ≥ n_0. Elle se déroule en 3 ÉTAPES STRICTES : (1) INITIALISATION — on montre que P(n_0) est vraie au rang initial n_0 (souvent 0 ou 1). (2) HÉRÉDITÉ — on SUPPOSE P(n) vraie au rang n (HYPOTHÈSE DE RÉCURRENCE) et on montre alors que P(n+1) est vraie. (3) CONCLUSION — par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n_0. Exemple type : démontrer que la somme des n premiers entiers vaut n(n+1)/2. Initialisation : pour n=1, somme = 1 = 1×2/2 ✓. Hérédité : on suppose 1+2+...+n = n(n+1)/2, et on calcule 1+2+...+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 ✓. Conclusion : vrai pour tout n ≥ 1. ATTENTION : oublier l'initialisation est l'erreur n°1 — sans elle, l'hérédité ne suffit pas. La rédaction doit faire apparaître EXPLICITEMENT les 3 étapes. Au programme du Bac 2026.
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