À quoi sert la récurrence ?

La récurrence sert à démontrer une propriété qui dépend d'un entier n, valable POUR TOUT n à partir d'un certain rang. C'est la SEULE méthode rigoureuse pour démontrer une formule qui se devine « par observation » sur les premiers termes. Exemples au Bac : formule explicite d'une suite récurrente, somme des n premiers termes, divisibilité, inégalité.

Quand faut-il utiliser une récurrence forte ?

Quand l'hérédité de P(n+1) nécessite NON SEULEMENT P(n) mais AUSSI des rangs ANTÉRIEURS (P(n-1), P(n-2), ...). Dans ce cas, on suppose « P(k) vraie pour tout k entre n₀ et n » et on démontre P(n+1). Cas fréquent : suites définies par u_(n+2) = f(u_n, u_(n+1)).

Peut-on démontrer une inégalité par récurrence ?

Oui — c'est même très fréquent au Bac. Exemple : démontrer que pour tout n ≥ 4, n² ≥ 2^n est faux (l'inverse l'est). Méthode : INITIALISATION (vérifier l'inégalité au rang initial), HÉRÉDITÉ (supposer l'inégalité au rang n, manipuler pour obtenir l'inégalité au rang n+1 — souvent en multipliant par un terme positif ou en majorant). ATTENTION à bien préciser le SENS des inégalités utilisées.

Récurrence vs raisonnement direct, comment choisir ?

Si l'énoncé dit explicitement « démontrer par récurrence », pas le choix. Sinon : (1) si la propriété dépend de n et qu'on peut « conjecturer puis prouver », la récurrence est l'outil ; (2) si la propriété découle d'une formule explicite ou d'un théorème (formule des suites arithmétiques, par exemple), un raisonnement direct suffit. La récurrence est SOUVENT obligatoire pour les suites définies par récurrence (u_(n+1) = f(u_n)).

Pourquoi écrit-on « par initialisation et hérédité » à la fin ?

Parce que ce sont les DEUX hypothèses du principe de récurrence (formellement : axiome de Peano). L'initialisation valide la BASE, l'hérédité valide la CHAÎNE. Sans préciser les deux, vous ne donnez pas les conditions d'application du principe — d'où la perte de point.

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Méthode · Bac Terminale · Mathématiques

Méthode du raisonnement par récurrence au Bac de Maths 2026

Coefficient 16Durée de l'épreuve : 3 h 305 étapes

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Comité éditorial FlashBac · Mathématiques·Vérifié le 24 mai 2026·Sources

Pourquoi cette méthode pour raisonnement par récurrence au bac de maths 2026 ?

La démonstration par récurrence est l'un des EXERCICES TYPES les plus fréquents au Bac de Mathématiques spécialité. Quasi systématiquement présente sur les sujets de suites (exercice 1 ou 3), elle pèse en général 3 à 5 points sur 20. Maîtriser sa MÉTHODE est non négociable. Pourquoi tant de candidats perdent des points ? Trois raisons identifiées dans les rapports de jury : (1) oubli de l'INITIALISATION (qui invalide TOTALEMENT la récurrence), (2) confusion entre « supposer vrai au rang n » et « démontrer pour tout n » (la nature même de l'hypothèse de récurrence est mal comprise), (3) rédaction bâclée qui ne fait pas apparaître clairement les 3 étapes. Cette méthode vous donne le SCHÉMA RÉDACTIONNEL EXACT attendu par les correcteurs nationaux, illustré sur 2 exemples-types du programme officiel BO 2024.

Méthode pas à pas : 5 étapes

1
Formuler clairement la propriété P(n) à démontrer (5 min)
5 min
AVANT toute chose : ÉCRIRE explicitement la propriété P(n). « Pour tout entier n ≥ n₀, P(n) : [...] ». Cette phrase OUVRE la démonstration. Sans elle, le correcteur ne sait pas ce que vous démontrez. Exemple : pour démontrer que la somme des n premiers entiers vaut n(n+1)/2, écrire : « Pour tout entier n ≥ 1, P(n) : 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 ». Identifier le bon rang initial n₀ (souvent 0 ou 1).
2
INITIALISATION : vérifier P(n₀) (5 min)
5 min
Calculer LES DEUX MEMBRES de la propriété au rang initial n₀ et montrer leur égalité. Toujours rédiger : « INITIALISATION : pour n = n₀, on a [calcul membre gauche] = [calcul membre droit] = [valeur]. Donc P(n₀) est vraie. » Cette étape est CRITIQUE : sans elle, la récurrence est INVALIDE même si l'hérédité est parfaite (la chaîne implicative se fait dans le vide). Erreur typique : oublier l'initialisation et perdre la totalité des points sur la démonstration.
3
HÉRÉDITÉ : passer du rang n au rang n+1 (15 min)
15 min
Écrire : « HÉRÉDITÉ : soit n ≥ n₀ un entier quelconque. Supposons P(n) vraie (HYPOTHÈSE DE RÉCURRENCE), c'est-à-dire [recopier P(n)]. Montrons que P(n+1) est vraie. » Puis, partant de l'hypothèse, manipuler algébriquement jusqu'à obtenir P(n+1). C'est l'étape la plus technique : utilisez l'HYPOTHÈSE DE RÉCURRENCE en cours de calcul (signalez-le explicitement par « par hypothèse de récurrence... »).
4
CONCLUSION : invoquer le principe de récurrence (3 min)
3 min
Phrase de conclusion EXACTE : « Par initialisation et hérédité, par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀. » Cette phrase est NÉCESSAIRE — elle « tire la flèche » de la chaîne implicative. Erreur fréquente : conclure « donc c'est vrai » sans invoquer le principe. La rédaction exacte vaut 0,5 point.
5
Encadrer la démonstration et vérifier (2 min)
2 min
Relisez : (1) la propriété est-elle clairement énoncée ? (2) l'initialisation est-elle faite au bon rang ? (3) l'hypothèse de récurrence est-elle explicitement utilisée ? (4) la conclusion invoque-t-elle le principe ? Si les 4 réponses sont OUI, la démo est valide. Encadrez le résultat final.

Exemple corrigé

Sujet type

« Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 »

Plan proposé

P(n) : 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
INITIALISATION : P(1) : 1 = 1×2/2 = 1 ✓ donc P(1) est vraie.
HÉRÉDITÉ : supposons P(n) vraie. Alors 1 + 2 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 = P(n+1). ✓
CONCLUSION : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 1.

Pourquoi ce plan marcheExemple canonique. La factorisation à l'étape d'hérédité ((n+1) en facteur commun) est le coup technique à connaître. Tous les exercices type Bac suivent le même schéma — seul le calcul d'hérédité varie.

Pièges classiques à éviter

Oublier l'initialisation

Sans initialisation, l'hérédité (« si P(n) alors P(n+1) ») se fait dans le vide. C'est l'erreur n°1 vue dans les copies — pénalité : 3 à 5 points (presque toute la question).

Confondre hypothèse et conclusion

L'hypothèse de récurrence permet de supposer P(n) vraie — JAMAIS P(n+1). L'erreur classique : utiliser P(n+1) en cours de calcul. Si vous le faites, vous démontrez quelque chose qui n'a pas de sens.

Initialiser au mauvais rang

Si la propriété est « pour tout n ≥ 2 », il faut initialiser au rang 2, pas au rang 0 ni au rang 1. Toujours LIRE l'énoncé pour savoir À PARTIR DE QUEL RANG la propriété est censée être vraie.

Sauter la conclusion par récurrence

Sans la phrase « par le principe de récurrence... », votre démonstration n'est pas considérée comme finie. Cette phrase vaut 0,5 point qui se perd facilement par négligence.

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